Transforme a fórmula proposicional para FNC e dê respectiva forma clausal: \quad(A \wedge \neg B) \leftrightarrow \neg(A \rightarrow B)

Passo 1

O enunciado pede para transformar a fórmula
(A \wedge \neg B) \leftrightarrow \neg(A \rightarrow B)
na forma normal conjuntiva (FNC) e depois dar a forma clausal correspondente. Vamos usar as seguintes etapas típicas: eliminar bicondicionais, eliminar implicações, empurrar negações e distribuir disjunções sobre conjunções.

Passo 2

Eliminar o bicondicional usando
P \leftrightarrow Q \;\equiv\; (P \rightarrow Q)\;\wedge\;(Q \rightarrow P).
Aplicando a P=(A\wedge\neg B) e Q=\neg(A\rightarrow B), obtemos
(A \wedge \neg B) \leftrightarrow \neg(A \rightarrow B) \;\equiv\; \bigl((A \wedge \neg B)\rightarrow \neg(A\rightarrow B)\bigr) \;\wedge\; \bigl(\neg(A\rightarrow B)\rightarrow (A \wedge \neg B)\bigr).

Passo 3

Eliminar as implicações com P\rightarrow Q\equiv \neg P\vee Q. Chamando R=A\wedge\neg B e S=\neg(A\rightarrow B), temos:
(R\rightarrow S)\equiv \neg R \vee S, \quad (S\rightarrow R)\equiv \neg S \vee R.
Logo a fórmula vira
\bigl(\neg(A\wedge\neg B)\;\vee\;\neg(A\rightarrow B)\bigr) \;\wedge\; \bigl(\neg\,\neg(A\rightarrow B)\;\vee\;(A\wedge\neg B)\bigr).

Passo 4

Reescrever A\rightarrow B\equiv \neg A\vee B e simplificar negações internas:
  1. \neg(A\wedge\neg B)\equiv \neg A\vee B por De Morgan.
  2. \neg(A\rightarrow B)=\neg(\neg A\vee B)\equiv A\wedge\neg B.
  3. \neg\,\neg(A\rightarrow B)\equiv A\rightarrow B\equiv \neg A\vee B.
Substituindo, a conjunção fica
\bigl((\neg A\vee B)\;\vee\;(A\wedge\neg B)\bigr) \;\wedge\; \bigl((\neg A\vee B)\;\vee\;(A\wedge\neg B)\bigr).
Note que os dois fatores são idênticos.

Passo 5

Para obter a FNC, distribuímos a disjunção sobre a conjunção em cada fator:
(\neg A\vee B\vee A)\;\wedge\;(\neg A\vee B\vee\neg B).
Mas \neg A\vee A é tautologia e B\vee\neg B também. Logo cada fator é \top, e a conjunção de tautologias permanece \top. Portanto a FNC da fórmula é simplesmente a tautologia.

Passo 6

Na forma clausal, a tautologia não impõe nenhuma cláusula (não há restrição), o que corresponde ao conjunto vazio de cláusulas.

Resposta

FNC: \top
Forma clausal: \emptyset

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