Informações dadas que vamos usar: o número complexo base é \displaystyle -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}. O objetivo é encontrar o valor numérico de z.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar o módulo do número complexo base. Para um complexo a+ib, o módulo é \sqrt{a^2+b^2}. Aqui a=-\frac{1}{2} e b=\frac{\sqrt{3}}{2}, então
Sabemos que \tan\varphi=\sqrt{3} quando \varphi=\frac{\pi}{3}. Como o real é negativo e o imaginário é positivo, o ponto está no 2.º quadrante, cujo ângulo é \pi-\varphi. Portanto o argumento é
\theta=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.
Verificação rápida: \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2} e \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, que coincidem com as coordenadas.
Passo 4
Escrevemos o número base em forma trigonométrica (forma de cis): como o módulo é 1 e o argumento é \frac{2\pi}{3},
O que isso significa na prática: para elevar um complexo em forma \cos\theta+i\sin\theta a uma potência inteira, multiplicamos o ângulo por n (o módulo, aqui, é elevado a n, mas como módulo é 1, fica 1^n=1). A fórmula pode ser demonstrada por indução ou derivada da forma exponencial e^{i\theta}, mas aqui usamos-a diretamente.
Passo 6
Aplicamos Moivre com \theta=\frac{2\pi}{3} e n=100:
Opcional (uma visão rápida alternativa): note que \left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)^3=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1, então a base tem ordem 3; assim elevar à 100ª potência é o mesmo que elevar à 100\mod 3, ou seja 100\equiv1\pmod{3}, dando o mesmo número inicial.
Passo 8
Finalmente usamos os valores do círculo trigonométrico: