Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
z=\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{100}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
z=\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{100}.
Informações dadas que vamos usar: o número complexo base é \displaystyle -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}. O objetivo é encontrar o valor numérico de z.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar o módulo do número complexo base. Para um complexo a+ib, o módulo é \sqrt{a^2+b^2}. Aqui a=-\frac{1}{2} e b=\frac{\sqrt{3}}{2}, então
|a+ib|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} =\sqrt{1}=1.
Ou seja, o módulo é 1. Isso significa que o número está na circunferência trigonométrica (unidade).

Passo 3

Agora encontramos o argumento (ângulo) \theta do complexo base. Para a+ib com a\neq0, \tan\theta=\dfrac{b}{a}. Aqui
\tan\theta=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}.
Sabemos que \tan\varphi=\sqrt{3} quando \varphi=\frac{\pi}{3}. Como o real é negativo e o imaginário é positivo, o ponto está no 2.º quadrante, cujo ângulo é \pi-\varphi. Portanto o argumento é
\theta=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.
Verificação rápida: \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2} e \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, que coincidem com as coordenadas.

Passo 4

Escrevemos o número base em forma trigonométrica (forma de cis): como o módulo é 1 e o argumento é \frac{2\pi}{3},
-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right).

Passo 5

Apresento a 1^{\mathrm{a}} fórmula de Moivre (que vamos usar): para todo \theta real e inteiro n,
\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).
O que isso significa na prática: para elevar um complexo em forma \cos\theta+i\sin\theta a uma potência inteira, multiplicamos o ângulo por n (o módulo, aqui, é elevado a n, mas como módulo é 1, fica 1^n=1). A fórmula pode ser demonstrada por indução ou derivada da forma exponencial e^{i\theta}, mas aqui usamos-a diretamente.

Passo 6

Aplicamos Moivre com \theta=\frac{2\pi}{3} e n=100:
z=\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)^{100} =\cos\left(100\cdot\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(100\cdot\frac{2\pi}{3}\right).
Calculamos o produto no argumento:
100\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{200\pi}{3}.

Passo 7

Reduzimos o ângulo \frac{200\pi}{3} módulo 2\pi (porque as funções seno e cosseno têm período 2\pi). Escrevemos
\frac{200\pi}{3}=\frac{198\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=66\pi+\frac{2\pi}{3}.
Como 66\pi=33\cdot 2\pi é um múltiplo de 2\pi, ele não muda os valores de cosseno e seno. Logo
\cos\left(\frac{200\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right),\qquad \sin\left(\frac{200\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right).
Portanto
z=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right).
Opcional (uma visão rápida alternativa): note que \left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)^3=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1, então a base tem ordem 3; assim elevar à 100ª potência é o mesmo que elevar à 100\mod 3, ou seja 100\equiv1\pmod{3}, dando o mesmo número inicial.

Passo 8

Finalmente usamos os valores do círculo trigonométrico:
\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},\qquad \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo o resultado é
z=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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