Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
z=(\sqrt{3}-1)^{10}

Passo 1

O enunciado pede calcular z=(\sqrt{3}-1)^{10}.
Informações dadas: o número base é \sqrt{3}-1, que é um número real positivo (aproximadamente 0,73205). A potência é 10. A tarefa é encontrar o valor exato de z.

Passo 2

Vou te explicar a ferramenta pedida: a 1ª fórmula de De Moivre. Ela diz que, se escrevemos um número complexo em forma polar como
r(\cos\theta+i\sin\theta),
então, para todo inteiro n,
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^n = r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r é o módulo (distância ao zero) e \theta é o argumento (ângulo). Explico rapidinho como achar r e \theta: se temos um número x+iy, então
r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x).
No nosso caso o número é puramente real \sqrt{3}-1 (ou seja y=0). Para um real positivo, o módulo é o próprio número e o argumento é 0. Isso significa que podemos aplicar De Moivre com \theta=0.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: escrever
\sqrt{3}-1 = r(\cos\theta+i\sin\theta)
com
r=\sqrt{3}-1,\qquad \theta=0.
Pela fórmula de De Moivre,
(\sqrt{3}-1)^{10} = r^{10}\bigl(\cos(10\cdot 0)+i\sin(10\cdot 0)\bigr)=r^{10}\bigl(\cos 0 + i\sin 0\bigr)=r^{10}.
Ou seja, z=(\sqrt{3}-1)^{10} continua sendo um número real: z=r^{10}. Agora precisamos calcular explicitamente r^{10} com exatidão.

Passo 4

Para calcular r^{10}=(\sqrt{3}-1)^{10} de forma exata sem calculadora, usamos o Teorema do Binômio: para a,b e inteiro n,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}.
No nosso caso a=\sqrt{3} e b=-1, então
(\sqrt{3}-1)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}(\sqrt{3})^{10-k}(-1)^k.
Observe um padrão importante: potências de \sqrt{3} com expoente par geram inteiros ( (\sqrt{3})^{2m}=3^{m}) e com expoente ímpar geram algo da forma inteiro vezes \sqrt{3} ( (\sqrt{3})^{2m+1}=3^{m}\sqrt{3}). Assim o resultado final será da forma
A + B\sqrt{3},
onde A e B são inteiros. Vamos separar a soma em termos com potência de \sqrt{3} par (contribuem para A) e ímpar (contribuem para B\sqrt{3}).

Passo 5

Faço a separação por paridade do expoente j (onde j é a potência de \sqrt{3}). Usando a forma equivalente
(\sqrt{3}-1)^{10}=\sum_{j=0}^{10}\binom{10}{j}(\sqrt{3})^{j}(-1)^{j},
escrevo j=2m (par) e j=2m+1 (ímpar).
Contribuição para A (termos com j=2m, m=0,\dots,5):
A=\sum_{m=0}^{5}\binom{10}{2m}3^{m}.
Calculo termo a termo:
\begin{aligned} m=0:&\;\binom{10}{0}3^{0}=1,\\\ m=1:&\;\binom{10}{2}3^{1}=45\cdot 3=135,\\\ m=2:&\;\binom{10}{4}3^{2}=210\cdot 9=1890,\\\ m=3:&\;\binom{10}{6}3^{3}=210\cdot 27=5670,\\\ m=4:&\;\binom{10}{8}3^{4}=45\cdot 81=3645,\\\ m=5:&\;\binom{10}{10}3^{5}=1\cdot 243=243. \end{aligned}
Somando:
A=1+135+1890+5670+3645+243=11584.
Contribuição para B\sqrt{3} (termos com j=2m+1, m=0,\dots,4): cada termo é \binom{10}{2m+1}3^{m}(-1)^{2m+1}\sqrt{3}=-\binom{10}{2m+1}3^{m}\sqrt{3}. Logo
B=-\sum_{m=0}^{4}\binom{10}{2m+1}3^{m}.
Calculo termo a termo (valores sem o sinal negativo primeiro):
\begin{aligned} m=0:&\;\binom{10}{1}3^{0}=10,\\\ m=1:&\;\binom{10}{3}3^{1}=120\cdot 3=360,\\\ m=2:&\;\binom{10}{5}3^{2}=252\cdot 9=2268,\\\ m=3:&\;\binom{10}{7}3^{3}=120\cdot 27=3240,\\\ m=4:&\;\binom{10}{9}3^{4}=10\cdot 81=810. \end{aligned}
Somando estes valores:
10+360+2268+3240+810=6688.
Com o sinal negativo temos B=-6688.

Passo 6

Portanto, juntando A e B, obtemos a forma exata
(\sqrt{3}-1)^{10}=11584-6688\sqrt{3}.
Podemos também verificar numericamente que isso é um número pequeno e positivo: \sqrt{3}\approx 1,73205 e a expressão dá aproximadamente 0,044198, que bate com a estimativa via potência direta de 0,73205^{10}. Isso confirma que nosso resultado exato está consistente.

Resposta

11584-6688\sqrt{3}

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