Usando a
formula do Moivre, calcular:
Passo 1
O enunciado pede calcular
.
Informações dadas: o número base é , que é um número real positivo (aproximadamente
). A potência é
. A tarefa é encontrar o valor exato de
.
Informações dadas: o número base é
Passo 2
Vou te explicar a ferramenta pedida: a 1ª fórmula de De Moivre. Ela diz que, se escrevemos um número complexo em forma polar como
então, para todo inteiro
,
Aqui
é o módulo (distância ao zero) e
é o argumento (ângulo). Explico rapidinho como achar
e
: se temos um número
, então
No nosso caso o número é puramente real
(ou seja
). Para um real positivo, o módulo é o próprio número e o argumento é
. Isso significa que podemos aplicar De Moivre com
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: escrever
com
Pela fórmula de De Moivre,
Ou seja,
continua sendo um número real:
. Agora precisamos calcular explicitamente
com exatidão.
Passo 4
Para calcular
de forma exata sem calculadora, usamos o Teorema do Binômio: para
e inteiro
,
No nosso caso
e
, então
Observe um padrão importante: potências de
com expoente par geram inteiros (
) e com expoente ímpar geram algo da forma inteiro vezes
(
). Assim o resultado final será da forma
onde
e
são inteiros. Vamos separar a soma em termos com potência de
par (contribuem para
) e ímpar (contribuem para
).
Passo 5
Faço a separação por paridade do expoente
(onde
é a potência de
). Usando a forma equivalente
escrevo
(par) e
(ímpar).
Contribuição para
(termos com
,
):
Calculo termo a termo:
Somando:
Contribuição para
(termos com
,
): cada termo é
. Logo
Calculo termo a termo (valores sem o sinal negativo primeiro):
Somando estes valores:
Com o sinal negativo temos
.
Passo 6
Portanto, juntando
e
, obtemos a forma exata
Podemos também verificar numericamente que isso é um número pequeno e positivo:
e a expressão dá aproximadamente
, que bate com a estimativa via potência direta de
. Isso confirma que nosso resultado exato está consistente.