Usando a
formula do Moivre, calcular:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a potência
As informações dadas são o número complexo
e o expoente
. A meta é aplicar a
fórmula de De Moivre para obter o resultado.
Passo 2
Vou recordar a
fórmula de De Moivre e explicar o que significam os símbolos. Se um número complexo
é escrito em forma polar como
então, para inteiro
,
Aqui
é o módulo (distância do ponto à origem) e
é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). A fórmula diz: para elevar
a uma potência inteira, basta elevar o módulo à potência e multiplicar o argumento por
.
Passo 3
Calcular o módulo
de
. Pelo cálculo do módulo de um número complexo
,
No nosso caso
e
, portanto
Passo 4
Calcular o argumento
. O argumento satisfaz
Aqui
, e como
e
(primeiro quadrante), o ângulo principal é
Passo 5
Escrever o número em forma polar usando os valores encontrados:
Posso checar rapidamente:
, então
ou seja, está coerente.
Passo 6
Aplicar De Moivre com
. Pela fórmula,
Calcular as quantidades:
e
Passo 7
Avaliar as funções trigonométricas em
:
Substituindo em cima:
Portanto a potência é um número real igual a
.