Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
(\sqrt{2}+\mathrm{i} \cdot \sqrt{2})^{8}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a potência
(\sqrt{2}+\mathrm{i}\cdot\sqrt{2})^{8}.
As informações dadas são o número complexo \sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2} e o expoente 8. A meta é aplicar a 1^{\mathrm{a}} fórmula de De Moivre para obter o resultado.

Passo 2

Vou recordar a 1^{\mathrm{a}} fórmula de De Moivre e explicar o que significam os símbolos. Se um número complexo z é escrito em forma polar como
z = r\bigl(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\bigr),
então, para inteiro n,
z^{n} = r^{n}\bigl(\cos(n\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r é o módulo (distância do ponto à origem) e \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). A fórmula diz: para elevar z a uma potência inteira, basta elevar o módulo à potência e multiplicar o argumento por n.

Passo 3

Calcular o módulo r de \sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}. Pelo cálculo do módulo de um número complexo a+\mathrm{i}b,
r = \sqrt{a^{2}+b^{2}}.
No nosso caso a=\sqrt{2} e b=\sqrt{2}, portanto
r = \sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2.

Passo 4

Calcular o argumento \theta. O argumento satisfaz
\tan\theta = \frac{b}{a}.
Aqui \dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1, e como a>0 e b>0 (primeiro quadrante), o ângulo principal é
\theta = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Escrever o número em forma polar usando os valores encontrados:
\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2} = 2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{4}) + \mathrm{i}\sin(\tfrac{\pi}{4})\bigr).
Posso checar rapidamente: \cos(\tfrac{\pi}{4})=\sin(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, então
2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \mathrm{i}\,2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2},
ou seja, está coerente.

Passo 6

Aplicar De Moivre com n=8. Pela fórmula,
\bigl(2(\cos(\tfrac{\pi}{4})+\mathrm{i}\sin(\tfrac{\pi}{4}))\bigr)^{8} = 2^{8}\bigl(\cos(8\cdot\tfrac{\pi}{4}) + \mathrm{i}\sin(8\cdot\tfrac{\pi}{4})\bigr).
Calcular as quantidades: 2^{8}=256 e
8\cdot\tfrac{\pi}{4}=2\pi.

Passo 7

Avaliar as funções trigonométricas em 2\pi:
\cos(2\pi)=1,\qquad \sin(2\pi)=0.
Substituindo em cima:
256\bigl(\cos(2\pi)+\mathrm{i}\sin(2\pi)\bigr)=256(1+ \mathrm{i}\cdot 0)=256.
Portanto a potência é um número real igual a 256.

Resposta

256

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