Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência \left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{7}.
Dados fornecidos (explicitados):
\displaystyle z=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}} e queremos z^{7}.

Passo 2

Vamos entender a forma polar de \displaystyle z. Primeiro identifico a parte real e a parte imaginária de \displaystyle z:
a parte real é \displaystyle \Re(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} e a parte imaginária é \displaystyle \Im(z)=-\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Calculo o módulo \displaystyle r de \displaystyle z usando a fórmula do módulo de um número complexo \displaystyle r=\sqrt{(\Re(z))^{2}+(\Im(z))^{2}}.
Substituindo:
r=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}
r=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Portanto \displaystyle r=1.

Passo 4

Agora calculo o argumento \theta de \displaystyle z. O argumento é o ângulo que o vetor representa no plano complexo. Uso a razão \tan\theta=\dfrac{\Im(z)}{\Re(z)}:
\tan\theta=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=-1.
A equação \tan\theta=-1 tem soluções \theta=-\frac{\pi}{4}+k\pi. Como \Re(z)>0 e \Im(z)<0, o ponto está no quarto quadrante, cujo ângulo principal é \theta=-\frac{\pi}{4}. Logo:
\theta=-\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Reescrevo \displaystyle z na forma trigonométrica (forma cis):
z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr)=1\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigr).

Passo 6

Aplico a primeira fórmula de De Moivre, que diz: para r\in\mathbb{R}_{\ge0}, \theta\in\mathbb{R} e inteiro n,
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Aqui \,r=1, \theta=-\tfrac{\pi}{4} e n=7. Então:
z^{7}=1^{7}\bigl(\cos(7\cdot(-\tfrac{\pi}{4}))+i\sin(7\cdot(-\tfrac{\pi}{4}))\bigr).
z^{7}=\cos\bigl(-\tfrac{7\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{7\pi}{4}\bigr).

Passo 7

Simplifico o ângulo -\tfrac{7\pi}{4} somando 2\pi (pois ângulos que diferem por múltiplos de 2\pi representam o mesmo ponto):
-\tfrac{7\pi}{4}+2\pi=-\tfrac{7\pi}{4}+\tfrac{8\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}.
Logo
z^{7}=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 8

Sei que \cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Substituindo:
z^{7}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}.
Podemos também escrever os coeficientes como \dfrac{\sqrt{2}}{2}, pois \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}

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