Usando a
formula do Moivre, calcular:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência
.
Dados fornecidos (explicitados):
e queremos
.
Dados fornecidos (explicitados):
Passo 2
Vamos entender a forma polar de
. Primeiro identifico a parte real e a parte imaginária de
:
a parte real é e a parte imaginária é
.
a parte real é
Passo 3
Calculo o módulo
de
usando a fórmula do módulo de um número complexo
.
Substituindo:
Substituindo:
Portanto
.
Passo 4
Agora calculo o argumento
de
. O argumento é o ângulo que o vetor representa no plano complexo. Uso a razão
:
A equação
tem soluções
. Como
e
, o ponto está no quarto quadrante, cujo ângulo principal é
. Logo:
Passo 5
Reescrevo
na forma trigonométrica (forma cis):
Passo 6
Aplico a primeira fórmula de De Moivre, que diz: para
,
e inteiro
,
Aqui
,
e
. Então:
Passo 7
Simplifico o ângulo
somando
(pois ângulos que diferem por múltiplos de
representam o mesmo ponto):
Logo
Passo 8
Sei que
. Substituindo:
Podemos também escrever os coeficientes como
, pois
.