Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
y^prime prime+5 y^prime+6 y=3 t, y(0)=0, y^prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 5y' + 6y = 3t, y(0)=0, y'(0)=2
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar dois passos: primeiro a solução complementar (homogênea) e depois uma particular pelo método dos coeficientes indeterminados, e por fim ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' + 5y' + 6y = 0
A equação característica é ,r^2 + 5r + 6 = 0, cujas raízes são
r = -2, r = -3
Logo a solução complementar é
yc(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t

Passo 3

Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1 em t, assumimos
yp(t) = A,t + B
Então yp' = A e yp''=0. Substituindo em y''+5y'+6y=3t
0 + 5A + 6(A,t + B) = 3t Longrightarrow 6A,t + (5A + 6B) = 3t
Igualando coeficientes de t e termo constante:
6A = 3Rightarrow A = tfrac12, 5A + 6B = 0Rightarrow B = -tfrac512
Portanto
yp(t) = tfrac12,t - tfrac512

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yc(t) + yp(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t + tfrac12,t - tfrac512
Agora impomos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1 + C2 - tfrac512 = 0, y'(t) = -2C1 e^-2t - 3C2 e^-3t + tfrac12,
logo em t=0:
y'(0) = -2C1 - 3C2 + tfrac12 = 2
Isso resulta no sistema
C1 + C2 = tfrac512, -2C1 - 3C2 = tfrac32

Passo 5

Resolvendo o sistema: somando 2 vezes a primeira equação com a segunda elimina C1, dando
- C2 = tfrac73Rightarrow C2 = -tfrac73,
e então
C1 = tfrac512 - C2 = tfrac512 + tfrac73 = tfrac114

Resposta

boxedy(t) = 114,e^-2t - 73,e^-3t + 12,t - 512

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