Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma EDO linear não homogênea com coeficientes constantes. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Isso envolve encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica para essa EDO é:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde:
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a parte não homogênea $ y’’ + y’ + y = x^2 $.
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau (
), assumimos que a solução particular também será um polinômio de segundo grau:
Onde $ A $, $ B $, e $ C $ são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de $ x^2 $:
- Coeficiente de $ x $:
- Termo constante:
Então, os valores são:
- $ A = 1 $
- $ B = -2 $
- $ C = 0 $
Passo 6
Com esses valores, a solução particular fica:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea $ y_h(x) $ e da solução particular $ y_p(x) $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.