Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+y^prime+y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma EDO linear não homogênea com coeficientes constantes. A equação que temos é:
y'' + y' + y = x^2
Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Isso envolve encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y' + y = 0
Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica para essa EDO é:
r^2 + r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
r = -1 pm raiz1 - 4(1)(1)2
r = -1 pm raiz-32
r = -12 pm raiz32i
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
Onde:
  • alpha = -12
  • beta = raiz32
Então, substituindo:
yh(x) = e^-x2 ( C1 cos(raiz32x) + C2 sin(raiz32x) )

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a parte não homogênea $ y’’ + y’ + y = x^2 $.
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ( yp(x) ), assumimos que a solução particular também será um polinômio de segundo grau:
y'' + y' + y = x^2
Onde $ A $, $ B $, e $ C $ são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x)
yp'(x) = 2Ax + B
Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial original:
yp''(x) = 2A
yp
Simplificando:
yp'

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de $ x^2 $:
x^2
  1. Coeficiente de $ x $:
A = 1
x
2A + B = 0
  1. Termo constante:
2(1) + B = 0
B = -2
2A + B + C = 0
2(1) + (-2) + C = 0
Então, os valores são:
  • $ A = 1 $
  • $ B = -2 $
  • $ C = 0 $

Passo 6

Com esses valores, a solução particular fica:
yp(x) = 1 cdot x^2 - 2x + 0
yp(x) = x^2 - 2x

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea $ y_h(x) $ e da solução particular $ y_p(x) $:
yh(x)
yp(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^-x2 ( C1 cos(raiz32x) + C2 sin(raiz32x) ) + x^2 - 2x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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