Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial linear não-homogênea com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não-homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é dada por:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Como as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não-homogênea:
Vamos dividir o lado direito em duas partes:
- Um polinômio de segundo grau:
- Uma exponencial:
Resolvemos cada parte separadamente e depois somamos as soluções particulares.
Passo 6
Primeiro, encontramos a solução particular para o polinômio
. Assumimos uma solução da forma:
onde
,
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 9
Com os valores encontrados, a solução particular para a parte polinomial é:
Passo 10
Agora, vamos encontrar a solução particular para a parte exponencial
. Assumimos uma solução da forma:
onde
é um coeficiente a ser determinado.
Passo 11
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 12
Igualando os coeficientes das exponenciais:
Portanto, a solução particular para a parte exponencial é:
Passo 13
Agora, a solução particular geral é a soma das soluções particulares encontradas:
Passo 14
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: