Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+2 y^prime+3 y=x^2+x+e^3 x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial linear não-homogênea com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
y'' + 2y' + 3y = x^2 + x + e^3x
Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 2y' + 3y = 0
Para isso, encontramos as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é dada por:
r^2 + 2r + 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz4 - 122 = -2 pm raiz-82 = -1 pm iraiz2

Passo 4

Como as raízes são complexas da forma -1 pm iraiz2, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = e^-x(C1 cos(raiz2x) + C2 sin(raiz2x))
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação não-homogênea:
y'' + 2y' + 3y = x^2 + x + e^3x
Vamos dividir o lado direito em duas partes:
  1. Um polinômio de segundo grau: x^2 + x
  2. Uma exponencial: e^3x
Resolvemos cada parte separadamente e depois somamos as soluções particulares.

Passo 6

Primeiro, encontramos a solução particular para o polinômio x^2 + x. Assumimos uma solução da forma:
yp1(x) = Ax^2 + Bx + C
onde A, B e C são coeficientes a serem determinados.

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp1(x):
yp1'(x) = 2Ax + B
yp1''(x) = 2A
Substituímos yp1, yp1' e yp1'' na equação diferencial:
2A + 2(2Ax + B) + 3(Ax^2 + Bx + C) = x^2 + x
Simplificando:
2A + 4Ax + 2B + 3Ax^2 + 3Bx + 3C = x^2 + x
Agrupando os termos semelhantes:
3Ax^2 + (4A + 3B)x + (2A + 2B + 3C) = x^2 + x + 0

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para x^2:
3A = 1 implies A = 13
Para x:
4A + 3B = 1 implies 4(13) + 3B = 1 implies 43 + 3B = 1 implies 3B = -13 implies B = -19
Para o termo constante:
2A + 2B + 3C = 0 implies 2(13) + 2(-19) + 3C = 0 implies 23 - 29 + 3C = 0 implies 49 + 3C = 0 implies 3C = -49 implies C = -427

Passo 9

Com os valores encontrados, a solução particular para a parte polinomial é:
yp1(x) = 13x^2 - 19x - 427

Passo 10

Agora, vamos encontrar a solução particular para a parte exponencial e^3x. Assumimos uma solução da forma:
yp2(x) = De^3x
onde D é um coeficiente a ser determinado.

Passo 11

Calculamos as derivadas de yp2(x):
yp2'(x) = 3De^3x
yp2''(x) = 9De^3x
Substituímos yp2, yp2' e yp2'' na equação diferencial:
9De^3x + 2(3De^3x) + 3(De^3x) = e^3x
Simplificando:
9De^3x + 6De^3x + 3De^3x = 18De^3x = e^3x

Passo 12

Igualando os coeficientes das exponenciais:
18D = 1 implies D = 118
Portanto, a solução particular para a parte exponencial é:
yp2(x) = 118 e^3x

Passo 13

Agora, a solução particular geral é a soma das soluções particulares encontradas:
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = 13x^2 - 19x - 427 + 118 e^3x

Passo 14

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^-x(C1 cos(raiz2x) + C2 sin(raiz2x)) + 13x^2 - 19x - 427 + 118 e^3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^-x(C1 cos(raiz2x) + C2 sin(raiz2x)) + 13x^2 - 19x - 427 + 118 e^3x

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