Resolva as seguintes edos.
y^(5)+2 y^prime prime prime+y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO de 5ª ordem homogênea com coeficientes constantes y^(5) + 2y''' + y' = 0. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e raízes repetidas. Vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Assumindo uma solução do tipo y=e^rx, substituímos na equação e obtemos a equação característica em r:
r^5 + 2r^3 + r = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio, tiramos r em evidência e observamos que o restante é um quadrado perfeito:
r(r^4 + 2r^2 + 1) = r(r^2+1)^2 = 0

Passo 4

As raízes dessa equação são r=0 e r^2 + 1 = 0 com multiplicidade 2, ou seja r=i (dupla) e r=-i (dupla).

Passo 5

Para cada raiz simples ou repetida, associamos soluções da forma e^rx e, no caso de multiplicidade 2, também x e^rx. Assim, no domínio complexo, as soluções independentes são
e^0,x, e^ix, x e^ix, e^-ix, x e^-ix

Passo 6

Convertendo essas cinco soluções pra funções reais usando e^ix=cos x + isin x, vemos que geram as bases reais
1, cos x, sin x, xcos x, xsin x
Logo, a solução geral é combinação linear dessas cinco funções.

Resposta

y(x) = C1 + C2 cos x + C3 sin x + C4 xcos x + C5 xsin x

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