Usando o método descrito no exercício precedente
ou
, determine a solução geral das seguintes edo’s:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
usando o método de “tentar achar uma solução elementar”
ou
. Para isso vamos primeiro identificar o problema: é uma EDO linear com coeficientes não constantes. A estratégia é
- encontrar uma solução
do problema homogêneo associado - usar redução de ordem para achar uma segunda solução
- obter a solução geral homogênea
- encontrar uma solução particular
Passo 2
Vamos testar
no homogêneo
Se
então
,
, e a equação vira
logo
não é solução. Agora teste
:
. Substituindo em
logo
é solução do homogêneo.
Passo 3
Colocamos a EDO na forma padrão dividindo tudo por
:(supondo
)
Dessa forma identificamos
Passo 4
Para achar a segunda solução
usamos redução de ordem. A fórmula é
Calculemos
:
Então
Como
, temos
Logo
Tomando a parte essencial,
Podemos, sem perda, usar
Passo 5
A solução geral do homogêneo é
Passo 6
Agora buscamos uma solução particular
para a parte não homogênea. Como o termo à direita é constante
, tentamos
Então
,
. Substituindo em
vem
Igualando a
obtemos
Logo
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
e
são constantes arbitrárias.