Usando o método descrito no exercício precedente operatornamecom varphi(x)=x ou varphi(x)=e^x, determine a solução geral das seguintes edo’s:
x y^prime prime-(x+3) y^prime+3 y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
x,y''-(x+3),y'+3,y = x
usando o método de “tentar achar uma solução elementar” varphi(x)=x ou varphi(x)=e^x. Para isso vamos primeiro identificar o problema: é uma EDO linear com coeficientes não constantes. A estratégia é
  1. encontrar uma solução y1 do problema homogêneo associado
  2. usar redução de ordem para achar uma segunda solução y2
  3. obter a solução geral homogênea
  4. encontrar uma solução particular yp

Passo 2

Vamos testar varphi(x)=x no homogêneo
x,y''-(x+3),y'+3,y=0
Se y=x então y'=1, y''=0, e a equação vira
xcdot0-(x+3)cdot1+3cdot x = -x-3+3x = 2x-3neq 0,
logo x não é solução. Agora teste varphi(x)=e^x:
;y=e^ximplies y'=e^x,;y''=e^x. Substituindo em
x,y''-(x+3),y'+3,y = x,e^x -(x+3),e^x+3,e^x = e^xl(x - x -3 +3r) = 0,
logo y1(x)=e^x é solução do homogêneo.

Passo 3

Colocamos a EDO na forma padrão dividindo tudo por x:(supondo xneq0)
y'' -l(1+3xr)y' + 3x,y = 1
Dessa forma identificamos
p(x) = -l(1+3xr), q(x)=3x, f(x)=1

Passo 4

Para achar a segunda solução y2 usamos redução de ordem. A fórmula é
y2 = y1integral e^-integral p(x),dxy1^2,dx
Calculemos integral p(x),dx:
integrall[-1-3xr]dx = -x -3ln|x|
Então
e^-integral p,dx = e^,x+3ln|x| = x^3,e^x
Como y1=e^x, temos
e^-integral p,dxy1^2 = x^3,e^xe^2x = x^3,e^-x
Logo
integral x^3,e^-x,dx = -e^-xl(x^3+3x^2+6x+6r)+C
Tomando a parte essencial,
y2 = e^x cdotl[-e^-x(x^3+3x^2+6x+6)r] = -(x^3+3x^2+6x+6)
Podemos, sem perda, usar
y2(x) = x^3+3x^2+6x+6

Passo 5

A solução geral do homogêneo é
yh(x) = C1,e^x + C2l(x^3+3x^2+6x+6r)

Passo 6

Agora buscamos uma solução particular yp para a parte não homogênea. Como o termo à direita é constante 1, tentamos
yp = A,x + B
Então yp' = A, yp''=0. Substituindo em
x,yp''-(x+3),yp'+3,yp = x,
vem
0 - (x+3)A +3(Ax+B) = -A,x -3A +3A,x +3B = 2A,x + (3B-3A)
Igualando a x obtemos
2A = 1 implies A = tfrac12, 3B-3A=0implies B = tfrac12
Logo
yp(x) = tfrac12,x + tfrac12

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy(x) = C1,e^x + C2l(x^3+3x^2+6x+6r) + x+12,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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