Usando o método descrito no exercício precedente operatornamecom varphi(x)=x ou varphi(x)=e^x, determine a solução geral das seguintes edo’s:
x y^prime prime-(2 x+1) y^prime+(x+1) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
x,y'' - (2x+1),y' + (x+1),y = 0
usando o método de redução de ordem apresentado anteriormente, em que se assume uma solução conhecida varphi(x) (aqui testaremos varphi(x)=e^x) e buscamos a segunda solução por y(x)=u(x),varphi(x).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que varphi(x)=e^x é de fato uma solução. Calculamos
y1 = e^x, y1' = e^x, y1'' = e^x
e substituímos na equação original:
x,e^x - (2x+1),e^x + (x+1),e^x = e^xl(x -2x -1 + x +1r) = 0
Logo, y1=e^x é uma solução.

Passo 3

Para encontrar a segunda solução, fazemos a redução de ordem definindo
y = u(x),e^x
Calculamos então
y' = u',e^x + u,e^x, y'' = u'',e^x + 2u',e^x + u,e^x
Substituindo na equação x,y''-(2x+1),y'+(x+1),y=0 e fatorando e^x, obtemos
e^xl[x,u'' +2x,u' + x,u ;-;(2x+1)(u'+u) ;+;(x+1)ur] = 0
Agrupando termos de u'',u',u surge
e^xl[x,u'' ;-;u'r] = 0 Longrightarrow x,u'' - u' = 0

Passo 4

Definindo w(x)=u'(x), a equação x,u'' - u'=0 vira
x,w' - w = 0 Long<=ftrightarrow w' - 1x,w = 0
Este é linear de primeira ordem. Escrevendo
w'w = 1x e integrando,
ln|w| = ln|x| + C1 Longrightarrow w = C2,x
Como w=u', temos
u' = C2,x Longrightarrow u = C22,x^2 + C3

Passo 5

Voltando a y = u,e^x, obtemos
y(x) = l(tfracC22x^2 + C3r)e^x = C3,e^x ;+;C22,x^2 e^x
Renomeando constantes C1 = C3 e C2/2 mapsto C2, a solução geral fica

Resposta

boxedy(x) = C1,e^x + C2,x^2,e^x

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