Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies
x^2+y^2+z^2=4 e (x-2)^2+y^2+z^2=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido comum às duas esferas de raio 2 cujas equações são
x^2+y^2+z^2=4
e
(x-2)^2+y^2+z^2=4
O que precisamos aqui é reconhecer que esse sólido é a região de interseção (lens) de duas esferas congruentes. Vamos usar a fórmula do volume de uma calota esférica e então dobrar o resultado, pois as duas calotas são iguais.

Passo 2

Primeiro achamos a distância d entre os centros. O primeiro centro é (0,0,0) e o segundo é (2,0,0), logo
d = 2
Como d<2R (aqui R=2), as esferas se interceptam. A superfície de interseção ocorre no plano médio entre os centros:

Passo 3

Para achar o plano de interseção igualamos as duas equações:
x^2+y^2+z^2 ;=;(x-2)^2+y^2+z^2 ;Longrightarrow; x^2 = x^2-4x+4 ;Longrightarrow; 4x=4 ;Longrightarrow; x=1
Esse plano x=1 corta cada esfera gerando uma calota de altura
h = R - (distância do centro ao plano) = 2 - 1 = 1 â

Passo 4

A fórmula do volume de uma calota de altura h em esfera de raio R é
Vcalota ;=;pi,h^2,l(R - tfrach3r)
Substituindo R=2 e h=1, vem
Vcalota = picdot 1^2,l(2 - tfrac13r) = picdot tfrac53 = tfrac5pi3

Passo 5

Como o volume de interseção é a soma das duas calotas (uma em cada esfera), basta multiplicar por 2:
V = 2,Vcalota = 2cdot tfrac5pi3 = tfrac10pi3

Resposta

boxed10pi3

Exercícios relacionados