Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido comum às duas esferas de raio
cujas equações são
e
O que precisamos aqui é reconhecer que esse sólido é a região de interseção (lens) de duas esferas congruentes. Vamos usar a fórmula do volume de uma calota esférica e então dobrar o resultado, pois as duas calotas são iguais.
Passo 2
Primeiro achamos a distância
entre os centros. O primeiro centro é
e o segundo é
, logo
Como
(aqui
), as esferas se interceptam. A superfície de interseção ocorre no plano médio entre os centros:
Passo 3
Para achar o plano de interseção igualamos as duas equações:
Esse plano
corta cada esfera gerando uma calota de altura
Passo 4
A fórmula do volume de uma calota de altura
em esfera de raio
é
Substituindo
e
, vem
Passo 5
Como o volume de interseção é a soma das duas calotas (uma em cada esfera), basta multiplicar por 2: