Exercício 15. (Apostol seção 2.12 exercício 3) Seja T: R^2 R^2 a transformação linear definida na base canônica B=(i, j) de R^2 da seguinte forma:
T(i)=i+j T(j)=2 i-j
  1. Calcule T(3 i-4 j) e T^2(3 i-4 j) em termos de i e j.
  2. Determine a matriz de T e de T^2.
  3. Determine a matriz de T e de T^2 em termos da base ( e1, e2 ), em que e1=i-j e e2=3 i+j.

Passo 1

O exercício trata de uma transformação linear
;T:R^2toR^2,definida pela ação nos vetores da base canônica B=(i,j):
T(i)=i+j, T(j)=2i-j
Precisamos usar linearidade para (1) calcular T(3i-4j) e T^2(3i-4j); (2) obter as matrizes de T e de T^2 na base canônica; (3) trocar para a base E=(e1,e2), onde e1=i-j e e2=3i+j, e encontrar as matrizes de T e T^2 nessa base.

Passo 2

Aplicando linearidade em ;v=3i-4j,
T(v)=3,T(i)-4,T(j) =3(i+j)-4(2i-j) =3i+3j-8i+4j =-5i+7j

Passo 3

Para T^2(v)=Tl(T(v)r), usamos T(v)=-5i+7j:
T^2(v) =T(-5i+7j) =-5,T(i)+7,T(j) =-5(i+j)+7(2i-j) =-5i-5j+14i-7j =9i-12j

Passo 4

Na base canônica B=(i,j), a matriz de T tem colunas [T(i)]B e [T(j)]B, e a de T^2 é o quadrado dessa matriz (ou então imagens de i,j por T^2):
[T]B = 1 & 2 1 & -1 , [T^2]B = 3 & 0 0 & 3

Passo 5

Para a base E=(e1,e2) com
e1=i-j, e2=3i+j,
o “change-of-basis” é dado pela matriz de passagem
P=l[,e1;;e2r] =1 & 3 -1 & 1,
cuja inversa é
P^-1=141 & -31 & 1
Logo a matriz de T em E é
[T]E =P^-1[T]B,P =14-7 & -1[4pt]1 & 7,
e como T^2=3I, permanece diagonal em qualquer base:
[T^2]E =3 & 0 0 & 3 ]

Resposta

(1) ;T(3i-4j)=-5i+7j\quad e\quad T^2(3i-4j)=9i-12j.
(2)
[T]B =1 & 21 & -1, [T^2]B =3 & 00 & 3
(3)
[T]E =14-7 & -11 & 7, [T^2]E =3 & 00 & 3

Exercícios relacionados