Exercício 15. (Apostol seção 2.12 exercício 3) Seja a transformação linear definida na base canônica de da seguinte forma:
Calcule e em termos de e .
Determine a matriz de e de .
Determine a matriz de e de em termos da base ( ), em que e .
Passo 1
O exercício trata de uma transformação linear ,definida pela ação nos vetores da base canônica :
Precisamos usar linearidade para calcular e ; obter as matrizes de e de na base canônica; trocar para a base , onde e , e encontrar as matrizes de e nessa base.
Passo 2
Aplicando linearidade em ,
Passo 3
Para , usamos :
Passo 4
Na base canônica , a matriz de tem colunas e , e a de é o quadrado dessa matriz (ou então imagens de por ):
Passo 5
Para a base E=(e1,e2) com
e1=i-j, e2=3i+j,
o “change-of-basis” é dado pela matriz de passagem
P=l[,e1;;e2r] =1 & 3 -1 & 1,
cuja inversa é
P^-1=141 & -31 & 1
Logo a matriz de T em E é
[T]E =P^-1[T]B,P =14-7 & -1[4pt]1 & 7,
e como T^2=3I, permanece diagonal em qualquer base: