Determine:
a equação da reta tangente à curva cos (x+y)=y-x no ponto (pi / 4, pi / 4)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita cos(x+y)=y-x e pede a equação da reta tangente no ponto l(tfracpi4,tfracpi4r). Vamos usar diferenciação implícita para achar tfracdydx e depois a reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x: no lado esquerdo temos derivada de cos(x+y), que é -sin(x+y),(1+y'), e no direito derivada de y - x, que é y' - 1. Isso nos dá a equação
-sin(x+y),(1+y') = y' - 1

Passo 3

Reorganizando para isolar y':
-sin(x+y) - sin(x+y),y' = y' - 1
Rightarrow (-sin(x+y) - 1),y' = sin(x+y) - 1
Rightarrow y' = sin(x+y)-1-sin(x+y)-1 = 1 - sin(x+y)1 + sin(x+y)

Passo 4

No ponto l(tfracpi4,tfracpi4r) temos x+y = tfracpi2 e sintfracpi2 = 1. Logo
dydx|l(pi4,pi4r) = 1 - 11 + 1 = 0

Passo 5

Com a inclinação m=0 e passando por l(tfracpi4,tfracpi4r), a reta tangente satisfaz
y - pi4 = 0,(x - pi4)
que simplifica para
y = pi4

Resposta

A equação da reta tangente é y = tfracpi4.

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