Usando o método do fator integrante, encontre a solução do problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}+y=\chi_{[0,1]}(t), \y(0)=0,\end{array}\right.onde \chi_{[0,1]}(t)=\left\{\begin{array}{lll}1, & \text { se } & t \in[0,1], \\\ 0, & \text { se } & t>1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI de primeira ordem
\frac{dy}{dt} + y = \chi_{[0,1]}(t),\quad y(0)=0,
onde
\chi_{[0,1]}(t)= \begin{cases} 1,&t\in[0,1],\\\\ 0,&t>1. \end{cases}
Este é um problema com forçante em parte do domínio, então vamos usar o método do fator integrante, resolvendo em dois trechos: em [0,1] (onde a forçante vale 1) e em (1,\infty) (onde a forçante vale 0), e depois impor continuidade de y(t) em t=1.

Passo 2

Para 0\le t\le1 temos
\frac{dy}{dt}+y=1.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int1\,dt}=e^t.
Multiplicando a equação por e^t obtemos
\bigl(e^t y(t)\bigr)' = e^t\cdot1 = e^t.
Integramos de 0 a t:
e^t y(t) - e^0 y(0) = \int_{0}^{t} e^s\,ds.
Como y(0)=0, isso dá
e^t y(t) = \bigl[e^s\bigr]_{s=0}^{s=t} = e^t - 1,
logo
y(t)=1 - e^{-t},\quad 0\le t\le1.

Passo 3

Para t>1 a forçante some e a equação fica homogênea:
\frac{dy}{dt}+y=0.
A solução geral é
y(t)=C e^{-t}.
Para achar C, usamos a continuidade de y em t=1. Do trecho anterior temos
y(1)=1 - e^{-1}.
Então
C e^{-1}=1 - e^{-1} \quad\Longrightarrow\quad C = \bigl(1 - e^{-1}\bigr)e^{1} = e - 1.
Logo, para t>1
y(t) = (e-1)e^{-t} = (1 - e^{-1})\,e^{-(t-1)}.

Resposta

Para t\ge0,
y(t)= \begin{cases} 1 - e^{-t},&0\le t\le1,\\\ (1 - e^{-1})\,e^{-(t-1)},&t>1. \end{cases}

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