Defina o que é uma equação diferencial de ordem k e o que se entende por uma solução dessa equação.

Passo 1

O enunciado pede para definir o que é uma equação diferencial de ordem k e o que significa uma solução dessa equação. Aqui o conteúdo envolve funções de uma variável real, suas derivadas até ordem k e a relação que elas devem satisfazer.

Passo 2

Uma equação diferencial de ordem k é uma relação da forma
F\bigl(x,\;y(x),\;y'(x),\;\dots,\;y^{(k)}(x)\bigr)=0,
onde:
x é a variável independente;
y(x) é a função desconhecida;
y^{(i)}(x) denota a i-ésima derivada de y em relação a x;
F é uma função dada, suficientemente suave, que envolve até a derivada de ordem k.

Passo 3

Dizemos que uma função \varphi de classe C^k em um intervalo I é solução da equação diferencial de ordem k se, para todo x\in I, ao substituir y=\varphi, y'=\varphi', \dots, y^{(k)}=\varphi^{(k)} na relação
F\bigl(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(k)}(x)\bigr)=0
essa igualdade for satisfeita identicamente em I.

Resposta

Uma equação diferencial de ordem k é uma relação
F\bigl(x,y,y',\dots,y^{(k)}\bigr)=0
que envolve derivadas de uma função y até a ordem k. Uma solução dessa equação é uma função \varphi de classe C^k num certo intervalo I tal que, ao substituir \varphi e suas derivadas na relação acima, obtém-se uma igualdade verdadeira para todo x\in I.

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