Usando o método do fator integrante, encontre a solução do problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}+2 y=e^{2 t}, \y(0)=2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
\frac{dy}{dt} + 2y = e^{2t},\quad y(0)=2,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos no formato padrão \frac{dy}{dt}+p(t)\,y=q(t) com p(t)=2 e q(t)=e^{2t}. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr)=\exp\bigl(\int 2\,dt\bigr)=e^{2t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{2t}\frac{dy}{dt} + 2e^{2t}y = e^{2t}\cdot e^{2t} = e^{4t}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{2t}y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr)=e^{4t}.
Integrando em t:
e^{2t}y = \int e^{4t}\,dt = \frac{1}{4}e^{4t} + C.

Passo 4

Isolamos y:
y(t) = e^{-2t}\Bigl(\frac{1}{4}e^{4t} + C\Bigr) = \frac{1}{4}e^{2t} + C e^{-2t}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2:
2 = \frac{1}{4}e^{0} + C e^{0} = \frac{1}{4} + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}.

Resposta

y(t) = \frac{1}{4}e^{2t} + \frac{7}{4}e^{-2t}.

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