Usando o método do fator integrante, encontre a solução do problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}-y \cos t=t e^{t^{2}+\sin t}, \y(0)=2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
\frac{dy}{dt}-y\cos t = t\,e^{\,t^{2}+\sin t},\quad y(0)=2.
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que consiste em escrever a equação na forma padrão y'+P(t)y=Q(t) e encontrar \mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}.

Passo 2

Colocando em forma padrão, temos
y' + \bigl(-\cos t\bigr)\,y = t\,e^{\,t^{2}+\sin t}.
Portanto
P(t) = -\cos t \quad\text{e}\quad Q(t) = t\,e^{\,t^{2}+\sin t}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = e^{\int P(t)\,dt} = e^{\int -\cos t\,dt} = e^{-\sin t}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t), obtendo
e^{-\sin t}\bigl(y' - y\cos t\bigr) = t\,e^{\,t^{2}+\sin t}\,e^{-\sin t} = t\,e^{\,t^{2}}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-\sin t}\bigr) = t\,e^{t^{2}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
y\,e^{-\sin t} = \int t\,e^{t^{2}}\,dt + C = \frac{1}{2}\,e^{t^{2}} + C.

Passo 6

Isolando y, vem
y(t) = e^{\sin t}\Bigl(\tfrac{1}{2}\,e^{t^{2}} + C\Bigr).

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0)=2:
2 = y(0) = e^{\sin 0}\Bigl(\tfrac12\,e^{0}+C\Bigr) = 1\cdot\bigl(\tfrac12 + C\bigr),
logo \tfrac12 + C = 2 e C = \tfrac32.

Resposta

\boxed{y(t) = \tfrac{1}{2}\,e^{\,t^{2}+\sin t} + \tfrac{3}{2}\,e^{\sin t}.}

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