Seja f: D subset R R dada por:
f(x)=x^2+1x
© Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente, e os máximos e mínimos se existem.

Passo 1

O enunciado pede para, dado f(x)= x^2+1x com domínio D= Rsetminus0, determinar onde f é crescente ou decrescente e achar máximos e mínimos. Vamos usar derivadas e o teste de sinal da derivada.

Passo 2

Para ver onde f cresce ou decresce, calculamos a derivada usando regra do quociente. Se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2. Aqui u(x)=x^2+1 e v(x)=x.
Derivando: u'(x)=2x e v'(x)=1. Assim
f'(x)=2xcdot x-(x^2+1)cdot1x^2=2x^2-(x^2+1)x^2=x^2-1x^2

Passo 3

Para estudar o sinal de f'(x)=x^2-1x^2, note que o denominador x^2>0 para todo xneq0. Então o sinal de f' vem de x^2-1. Zeros de f' em x=pm1.
Analisando cada intervalo do domínio separado pelos pontos críticos (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) e (1, ∞):
  • Em (-∞, -1): x^2>1 x^2-1>0 f'(x)>0, logo f é crescente.
  • Em (-1, 0): x^2<1 x^2-1<0 f'(x)<0, logo f é decrescente.
  • Em (0, 1): mesma lógica de (-1,0), f é decrescente.
  • Em (1, ∞): x^2>1 f'(x)>0, logo f é crescente.

Passo 4

Nos pontos críticos:
  • Em x=-1, f muda de crescente para decrescente → máximo local em x=-1 com f(-1)=1+1-1=-2.
  • Em x=1, f muda de decrescente para crescente → mínimo local em x=1 com f(1)=2.

Resposta

f é crescente em (-∞, -1) e (1, ∞); decrescente em (-1, 0) e (0, 1). Há máximo local em x=-1 com f(-1)=-2 e mínimo local em x=1 com f(1)=2.

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