Seja
dada por:
© Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente, e os máximos e mínimos se existem.
Passo 1
O enunciado pede para, dado f(x)=
com domínio D=
, determinar onde f é crescente ou decrescente e achar máximos e mínimos. Vamos usar derivadas e o teste de sinal da derivada.
Passo 2
Para ver onde f cresce ou decresce, calculamos a derivada usando regra do quociente. Se
, então
. Aqui
e
.
Derivando: e
. Assim
Derivando:
Passo 3
Para estudar o sinal de
, note que o denominador
para todo
. Então o sinal de
vem de
. Zeros de
em
.
Analisando cada intervalo do domínio separado pelos pontos críticos (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) e (1, ∞):
Analisando cada intervalo do domínio separado pelos pontos críticos (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) e (1, ∞):
- Em (-∞, -1):
→ → , logo f é crescente. - Em (-1, 0):
→ → , logo f é decrescente. - Em (0, 1): mesma lógica de (-1,0), f é decrescente.
- Em (1, ∞):
→ , logo f é crescente.
Passo 4
Nos pontos críticos:
- Em
, f muda de crescente para decrescente → máximo local em com . - Em
, f muda de decrescente para crescente → mínimo local em com .
Resposta
f é crescente em (-∞, -1) e (1, ∞); decrescente em (-1, 0) e (0, 1). Há máximo local em x=-1 com f(-1)=-2 e mínimo local em x=1 com f(1)=2.