f(t)=sen t, 0 <= t.

Passo 1

Temos uma função periódica de período T=pi definida por f(t)=sin t em [0,pi) e estendida com f(t+pi)=f(t). Vamos encontrar sua série de Fourier de período pi.

Passo 2

O primeiro passo é identificar o período e a frequência fundamental:\
T=pi, omega0=2piT=2
A forma geral da série é
f(t)=A0+sumn=1^inftyl(Ancos(nomega0t)+Bnsin(nomega0t)r)
As fórmulas dos coeficientes são
A0=1Tintegral0^T f(t),dt, An=2Tintegral0^T f(t)cos(nomega0t),dt, Bn=2Tintegral0^T f(t)sin(nomega0t),dt

Passo 3

Calculando o termo médio A0:
A0=1piintegral0^pisin t,dt =1pil[-cos tr]0^pi =1pi(1-(-1)) =2pi

Passo 4

Calculando An para n>=1:
An=2piintegral0^pisin tcos(2n t),dt
Usando a identidade
sin tcos(2nt)=tfrac12l(sin((2n+1)t)+sin((1-2n)t)r)
e integrando, obtemos
An=-4pi(4n^2-1)

Passo 5

Calculando Bn:
Bn=2piintegral0^pisin tsin(2n t),dt=0
pois a integral de produtos sin tsin(2n t) sobre um período inteiro anula-se.

Passo 6

Finalmente, montamos a série de Fourier:
f(t)=2pi+sumn=1^inftyl(-4pi(4n^2-1)r)cos(2n t)

Resposta

f(t)=2pi-4pisumn=1^inftycos(2n t)4n^2-1

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