Mostre que
L(cos ^3(t))=s(s^2+7)(s^2+9)(s^2+1)
Sugestão: Desenvolva cos (3 t) para escrever cos ^3(t) em função de cos (t) e cos (3 t)

Passo 1

Temos que mostrar que a transformada de Laplace de cos^3(t) é dfracs(s^2+7)(s^2+1)(s^2+9). O conteúdo aqui envolve cálculo de transformada de Laplace e uso de uma identidade trigonométrica para reduzir cos^3(t).

Passo 2

Vamos usar a identidade do ângulo triplo: cos(3t)=4cos^3(t)-3cos(t). Desse modo podemos isolar cos^3(t) em função de cos(t) e cos(3t):
cos^3(t)=cos(3t)+3cos(t)4
Agora aplicamos a transformada de Laplace linha a linha, lembrando que Lcos(at)=dfracss^2+a^2:
- Para dfrac34cos(t), temos dfrac34cdotdfracss^2+1.
- Para dfrac14cos(3t), temos dfrac14cdotdfracss^2+9.

Passo 3

Somando essas parcelas sobre o mesmo denominador (s^2+1)(s^2+9), obtemos:
Lcos^3(t)=3s(s^2+9)+s(s^2+1)4,(s^2+1)(s^2+9)
No numerador, faça a soma:
3s(s^2+9)+s(s^2+1)=3s^3+27s+s^3+s=4s^3+28s=4s(s^2+7)
Cancelando o fator 4 do numerador com o 4 fora do denominador, chegamos ao resultado desejado:

Resposta

Lcos^3(t)=dfracs(s^2+7)(s^2+1)(s^2+9).

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