Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(b) integral x^2raiz4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2raiz4 - x^2,dx usando substituição trigonométrica. Esse exercício faz parte de técnicas de integração e vamos precisar escolher uma substituição que elimine a raiz raiz4 - x^2.

Passo 2

Escolhemos a substituição x = 2sintheta porque assim raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta. Além disso, temos dx = 2costheta,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral original: numerador x^2 = 4sin^2theta, denominador raiz4 - x^2 = 2costheta e dx = 2costheta,dtheta. O integrando fica
integral x^2raiz4 - x^2,dx = integral 4sin^2theta2costheta cdot 2costheta,dtheta = integral 4sin^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar 4sin^2theta usamos a identidade sin^2theta = tfrac1 - cos(2theta)2. Assim:
4integralsin^2theta,dtheta = 4integral 1 - cos(2theta)2,dtheta = 2integral (1 - cos(2theta)),dtheta = 2l(theta - tfrac12sin(2theta)r) + C = 2theta - sin(2theta) + C

Passo 5

Agora voltamos para x. Como theta = arcsinl(tfracx2r) e sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2cdotx2cdotraiz4 - x^22 = xraiz4 - x^22, substituímos e obtemos o resultado em função de x.

Resposta

2arcsin!l(tfracx2r) - tfracxraiz4 - x^22 + C

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