Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{1}{\sqrt{3-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{3 - x^{2}}}\,dx
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos usar a identidade
\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1
para transformar a raiz em função de um ângulo \theta e depois integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \sqrt{3}\,\sin\theta,
de forma que
dx = \sqrt{3}\,\cos\theta\,d\theta.
Nesse caso, \theta = \arcsin\bigl(x/\sqrt{3}\bigr) e, como \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], temos \cos\theta\ge0.

Passo 3

Calculamos a expressão sob a raiz:
3 - x^{2} = 3 - 3\sin^{2}\theta = 3\cos^{2}\theta
e, portanto,
\sqrt{3 - x^{2}} = \sqrt{3\cos^{2}\theta} = \sqrt{3}\,\cos\theta,
já que \cos\theta\ge0.

Passo 4

Substituindo na integral original:
\int \frac{1}{\sqrt{3 - x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{3}\,\cos\theta}\,\bigl(\sqrt{3}\,\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int 1\,d\theta.

Passo 5

Integrando em \theta:
\int 1\,d\theta = \theta + C.

Passo 6

Voltando à variável x, usamos \theta = \arcsin\bigl(x/\sqrt{3}\bigr). Logo,
\int \frac{1}{\sqrt{3 - x^{2}}}\,dx = \arcsin\Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{1}{\sqrt{3 - x^{2}}}\,dx = \arcsin\Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr) + C.}

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