Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \sqrt{4-9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{4-9x^{2}}\,dx
usando o método de substituição trigonométrica. O conteúdo principal aqui é a técnica de lidar com raízes da forma \sqrt{a^{2}-u^{2}} por meio da substituição u=a\sin\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \frac{2}{3}\sin\theta, \quad dx = \frac{2}{3}\cos\theta\,d\theta.
Note que
\sqrt{4-9x^{2}} = \sqrt{4-9\left(\frac{2}{3}\sin\theta\right)^{2}} = \sqrt{4-4\sin^{2}\theta} =2\cos\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \sqrt{4-9x^{2}}\,dx = \int \bigl(2\cos\theta\bigr)\,\bigl(\tfrac{2}{3}\cos\theta\,d\theta\bigr) = \frac{4}{3}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Assim,
\frac{4}{3}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{4}{3}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{2}{3}\int \bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Integramos:
\frac{2}{3}\Bigl(\theta + \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr) + C = \frac{2}{3}\theta + \frac{1}{3}\sin(2\theta) + C.

Passo 5

Voltamos a x. Da substituição, \sin\theta = \tfrac{3x}{2} e
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr), \quad \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta =2\cdot\tfrac{3x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-9x^{2}}}{2} =\frac{3x\sqrt{4-9x^{2}}}{2}.
Portanto,
\frac{1}{3}\sin(2\theta) = \frac{1}{3}\,\frac{3x\sqrt{4-9x^{2}}}{2} = \frac{x\sqrt{4-9x^{2}}}{2}.
Ficamos com
\int \sqrt{4-9x^{2}}\,dx = \frac{2}{3}\arcsin\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr) + \frac{x\sqrt{4-9x^{2}}}{2} + C.

Resposta

\boxed{ \int \sqrt{4-9x^{2}}\,dx = \frac{x\sqrt{4-9x^{2}}}{2} + \frac{2}{3}\arcsin\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr) + C }

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