Calcule:
\int \frac{2}{\sqrt{x^{2}-6 x-16}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2}{\sqrt{x^{2}-6x-16}}\,dx
Este é um caso clássico onde a gente primeiro completa o quadrado no radicando e depois usa a forma conhecida
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}
para obter um logaritmo.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x^{2}-6x-16. Note que
x^{2}-6x-16 = (x-3)^{2} - 9 -16 = (x-3)^{2} -25.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - 3, \quad du = dx.
Então a integral vira
\int \frac{2}{\sqrt{u^{2}-25}}\,du.

Passo 4

Usamos a fórmula
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}} = \ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr| + C,
com a=5. Logo
\int \frac{2}{\sqrt{u^{2}-25}}\,du = 2\,\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}-25}\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x (lembre que u=x-3), obtemos
2\,\ln\Bigl|x-3 + \sqrt{x^{2}-6x-16}\Bigr| + C.

Resposta

2\,\ln\Bigl|x-3 + \sqrt{x^{2}-6x-16}\Bigr| + C

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