Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \sqrt{1+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx
usando o método de substituição trigonométrica. Aqui o conteúdo é reconhecer a forma \sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}} e aplicar a substituição
x = \frac{a}{b}\tan\theta
para transformar a raiz numa função trigonométrica mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \frac{1}{2}\tan\theta,
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dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Além disso, dentro da raiz temos
\sqrt{1 + 4x^{2}} = \sqrt{1 + 4\Bigl(\frac{1}{2}\tan\theta\Bigr)^{2}} = \sqrt{1 + \tan^{2}\theta} = \operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx = \int \operatorname{sec}\theta \,\Bigl(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\Bigr) = \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para calcular
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta
usamos a primitiva conhecida (fórmula de redução)
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\lvert \operatorname{sec}\theta + \tan\theta\rvert\bigr) + C.
Portanto
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\lvert \operatorname{sec}\theta + \tan\theta\rvert\bigr) + C = \tfrac{1}{4}\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\lvert \operatorname{sec}\theta + \tan\theta\rvert\bigr) + C.

Passo 5

Voltando para a variável x, lembrando que \tan\theta = 2x e \operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta} = \sqrt{1+4x^{2}}, temos
\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta = 2x\sqrt{1+4x^{2}}, \qquad \ln\bigl\lvert \operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr\rvert = \ln\bigl\lvert \sqrt{1+4x^{2}} + 2x\bigr\rvert.
Assim a integral fica
\int \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx = \tfrac{1}{4}\Bigl(2x\sqrt{1+4x^{2}} + \ln\lvert \sqrt{1+4x^{2}} + 2x\rvert\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx = \frac{x}{2}\,\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\,\ln\bigl\lvert 2x + \sqrt{1+4x^{2}}\bigr\rvert + C. }

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