Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \sqrt{x^{2}-5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x^{2}-5}\,dx
Usamos o conteúdo de integração por substituição trigonométrica, em que para expressões da forma \sqrt{x^{2}-a^{2}} fazemos a troca x=a\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Definimos a=\sqrt{5} e adotamos a substituição
x = \sqrt{5}\,\operatorname{sec}\theta.
Então
dx = \sqrt{5}\,\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}-5} = \sqrt{5\,\operatorname{sec}^{2}\theta -5} = \sqrt{5}\,\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, fica
\int \sqrt{x^{2}-5}\,dx = \int \bigl(\sqrt{5}\,\tan\theta\bigr)\,\bigl(\sqrt{5}\,\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) =5\int \operatorname{sec}\theta\,\tan^{2}\theta\,d\theta.
Como \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1, obtemos
5\int \bigl(\operatorname{sec}^{3}\theta-\operatorname{sec}\theta\bigr)\,d\theta =5\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta \;-\;5\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos as fórmulas conhecidas
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C,
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\tfrac12\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\bigr)+C.
Logo
5\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \tfrac{5}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|,
5\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta =5\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|.
Subtraindo, a parte em \theta vale
\tfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \tfrac{5}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Retornando a x:
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}, \quad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-5}}{\sqrt{5}}.
Então
\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}\;\frac{\sqrt{x^{2}-5}}{\sqrt{5}} = \frac{x\sqrt{x^{2}-5}}{5},
e
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x+\sqrt{x^{2}-5}}{\sqrt{5}}\Bigr| = \ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-5}\bigr| - \tfrac12\ln 5.
O termo -\tfrac{5}{2}\bigl(-\tfrac12\ln5\bigr) vira constante que absorvemos em C. Assim a integral em x é
\frac{x\,\sqrt{x^{2}-5}}{2} \;-\;\frac{5}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-5}\bigr| \;+\;C.

Resposta

\int \sqrt{x^{2}-5}\,dx = \frac{x\,\sqrt{x^{2}-5}}{2} -\frac{5}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-5}\bigr| + C.

Exercícios relacionados