Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{5}{\sqrt{4+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é a técnica de integrar funções da forma \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}, para a qual usamos a substituição x = a \tan\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2\tan\theta, \quad dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \quad \sqrt{4 + x^{2}} = \sqrt{4 + 4\tan^{2}\theta} = 2\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{5}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx = \int \frac{5}{2\operatorname{sec}\theta}\,\bigl(2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\bigr) = 5\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
Logo,
5\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = 5\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Voltando a variável x:
\operatorname{sec}\theta = \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2}, \quad \tan\theta = \frac{x}{2}.
Assim,
5\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| = 5\ln\!\biggl|\frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} + \frac{x}{2}\biggr| = 5\ln\bigl|x + \sqrt{4+x^{2}}\bigr| + C',
onde absorvemos o fator \ln 2 em C'.

Resposta

\int \frac{5}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx = 5\ln\bigl|x + \sqrt{4+x^{2}}\bigr| + C.

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