Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
u=x^2+y^2+z^2 quando x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
(a>b>c>0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função sob a condição . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é transformar nosso problema com restrição em um sistema de equações sem restrição. Para isso, introduzimos um multiplicador de Lagrange, que vamos chamar de .

Passo 3

Criamos a função auxiliar L = x^2 + y^2 + z^2 - lambda ( x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 - 1 ) . Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos derivar partial Lpartial x = 2x - 2lambda xa^2 = 0 em relação a partial Lpartial y = 2y - 2lambda yb^2 = 0 , partial Lpartial z = 2z - 2lambda zc^2 = 0 , partial Lpartial lambda = -( x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 - 1 ) = 0 e , e igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 5

Vamos simplificar as três primeiras equações:
2x ( 1 - lambdaa^2 ) = 0
2y ( 1 - lambdab^2 ) = 0
2z ( 1 - lambdac^2 ) = 0
Isso nos mostra que ou , , , ou , , respectivamente.

Passo 6

Vamos considerar que nem todos lambda = a^2, lambda = b^2, lambda = c^2 são zero (já que isso não satisfaz a restrição). Então, temos que:
Mas para que isso seja possível, uma delas deve se aplicar. Considerando , vamos analisar cada caso.

Passo 7

Caso 1: 1 - lambdaa^2 = 0 Rightarrow x neq 0
Então:
1 - lambdab^2 = 1 - a^2b^2 neq 0 Rightarrow y = 0
1 - lambdac^2 = 1 - a^2c^2 neq 0 Rightarrow z = 0
Então, um ponto crítico é

Passo 8

Caso 2: 1 - lambdaa^2 = 1 - b^2a^2 neq 0 Rightarrow x = 0
Então:
1 - lambdab^2 = 0 Rightarrow y neq 0
1 - lambdac^2 = 1 - b^2c^2 neq 0 Rightarrow z = 0
Então, outro ponto crítico é

Passo 9

Caso 3: 1 - lambdaa^2 = 1 - c^2a^2 neq 0 Rightarrow x = 0
Então:
1 - lambdab^2 = 1 - c^2b^2 neq 0 Rightarrow y = 0
1 - lambdac^2 = 0 Rightarrow z neq 0
Então, mais um ponto crítico é

Passo 10

Agora, vamos calcular o valor de em cada ponto crítico:
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

Os extremos condicionados da função são:
  • Máximo em com
  • Em com
  • Mínimo em com

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