Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função
sob a condição
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é transformar nosso problema com restrição em um sistema de equações sem restrição. Para isso, introduzimos um multiplicador de Lagrange, que vamos chamar de
.
Passo 3
Criamos a função auxiliar
. Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
,
,
e
, e igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Vamos simplificar as três primeiras equações:
Isso nos mostra que ou
,
,
, ou
,
,
respectivamente.
Passo 6
Vamos considerar que nem todos
são zero (já que isso não satisfaz a restrição). Então, temos que:
Mas para que isso seja possível, uma delas deve se aplicar. Considerando
, vamos analisar cada caso.
Passo 7
Caso 1:
Então:
Então, um ponto crítico é
Passo 8
Caso 2:
Então:
Então, outro ponto crítico é
Passo 9
Caso 3:
Então:
Então, mais um ponto crítico é
Passo 10
Agora, vamos calcular o valor de
em cada ponto crítico:
- Em
: - Em
: - Em
:
Resposta
Os extremos condicionados da função
são:
- Máximo em
com - Em
com - Mínimo em
com