Usando método de Newton, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize o ponto inicial indicado e informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon.
f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 . p_{0}=2

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função f(x)=x^{3}-2x^{2}-5.
  • O ponto inicial p_{0}=2.
    O que é pedido:
  • Usando o método de Newton, encontrar a aproximação da raiz após duas iterações (ou seja, calcular p_{1} e p_{2}, e retornar p_{2}).
  • Informar o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. Como o enunciado não fornece um valor específico para \epsilon, será calculado o valor da métrica \left|p_{2}-p_{1}\right| (que é o erro entre as duas últimas iterações).

Passo 2

Apresentando o método e a fórmula que vamos usar (explicando cada termo):
  • O método de Newton gera a sequência \{p_{n}\} definida por
p_{n+1}=p_{n}-\frac{f(p_{n})}{f'(p_{n})}.
Aqui:
  • p_{n} é a aproximação atual da raiz;
  • f(p_{n}) é o valor da função no ponto p_{n};
  • f'(p_{n}) é o valor da derivada de f em p_{n}.
  • Para aplicar a fórmula precisamos da derivada de f. Calculando:
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5\quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^{2}-4x.
Explicando: derivou-se termo a termo; para x^{3} vem 3x^{2}, para -2x^{2} vem -4x, e constante some.

Passo 3

Primeira iteração ( n=0 n=1):
  • Avaliar f e f' em p_{0}=2:
f(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}-5=8-8-5=-5.
f'(2)=3\cdot2^{2}-4\cdot2=12-8=4.
  • Aplicar a fórmula de Newton:
p_{1}=2-\frac{f(2)}{f'(2)}=2-\frac{-5}{4}=2+\frac{5}{4}=\frac{13}{4}=3{,}25.
Comentário: usei frações exatas e também dei o valor decimal para facilitar a interpretação.

Passo 4

Segunda iteração ( n=1 n=2):
  • Avaliar f em p_{1}=\dfrac{13}{4}. Primeiro os termos em frações:
\left(\frac{13}{4}\right)^{3}=\frac{2197}{64},\qquad 2\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=2\cdot\frac{169}{16}=\frac{338}{16}=\frac{169}{8}.
Portanto
f\!\left(\frac{13}{4}\right)=\frac{2197}{64}-\frac{1352}{64}-5=\frac{845}{64}-\frac{320}{64}=\frac{525}{64}.
  • Avaliar f' em p_{1}=\dfrac{13}{4}:
f'\!\left(\frac{13}{4}\right)=3\cdot\frac{169}{16}-4\cdot\frac{13}{4}=\frac{507}{16}-13=\frac{507}{16}-\frac{208}{16}=\frac{299}{16}.
  • Agora aplicar a fórmula de Newton:
p_{2}=p_{1}-\frac{f(p_{1})}{f'(p_{1})}=\frac{13}{4}-\frac{\tfrac{525}{64}}{\tfrac{299}{16}} =\frac{13}{4}-\frac{525}{64}\cdot\frac{16}{299}.
Simplificando a fração:
\frac{525}{64}\cdot\frac{16}{299}=\frac{525}{4\cdot299}=\frac{525}{1196}.
Logo
p_{2}=\frac{13}{4}-\frac{525}{1196}.
Para colocar p_{2} como fração única: faça o denominador comum 4\cdot299=1196,
p_{2}=\frac{13\cdot299-525}{1196}=\frac{3887-525}{1196}=\frac{3362}{1196}.
Dividindo numerador e denominador por 2:
p_{2}=\frac{1681}{598}\approx 2{,}811037\ldots

Passo 5

Calcular o erro segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right| usando as duas últimas iterações ( i=2):
  • Primeiro em fração exata:
\left|p_{2}-p_{1}\right|=\left|\frac{1681}{598}-\frac{13}{4}\right| =\left|\frac{1681\cdot4-13\cdot598}{4\cdot598}\right| =\left|\frac{6724-7774}{2392}\right| =\frac{1050}{2392}=\frac{525}{1196}.
  • Em decimal:
\left|p_{2}-p_{1}\right|\approx 0{,}438963\ldots
Interpretação do critério: a métrica de erro é exatamente \left|p_{2}-p_{1}\right|=\dfrac{525}{1196}. Para decidir se já convergiu seria necessário um valor de tolerância \epsilon (não fornecido). Se \epsilon>0{,}438963 a condição \left|p_{2}-p_{1}\right|<\epsilon estaria satisfeita; se \epsilon\le 0{,}438963 não estaria.

Resposta

\displaystyle p_{2}=\frac{1681}{598}\approx 2{,}811037\ldots
\displaystyle \left|p_{2}-p_{1}\right|=\frac{525}{1196}\approx 0{,}438963\ldots

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