Usando método de Newton, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize o ponto inicial indicado e informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 . p_{0}=2
Passo 1
O enunciado fornece:
A função f(x)=x^{3}-2x^{2}-5.
O ponto inicial p_{0}=2.
O que é pedido:
Usando o método de Newton, encontrar a aproximação da raiz após duas iterações (ou seja, calcular p_{1} e p_{2}, e retornar p_{2}).
Informar o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. Como o enunciado não fornece um valor específico para \epsilon, será calculado o valor da métrica \left|p_{2}-p_{1}\right| (que é o erro entre as duas últimas iterações).
Passo 2
Apresentando o método e a fórmula que vamos usar (explicando cada termo):
O método de Newton gera a sequência \{p_{n}\} definida por
p_{n+1}=p_{n}-\frac{f(p_{n})}{f'(p_{n})}.
Aqui:
p_{n} é a aproximação atual da raiz;
f(p_{n}) é o valor da função no ponto p_{n};
f'(p_{n}) é o valor da derivada de f em p_{n}.
Para aplicar a fórmula precisamos da derivada de f. Calculando:
Interpretação do critério: a métrica de erro é exatamente \left|p_{2}-p_{1}\right|=\dfrac{525}{1196}. Para decidir se já convergiu seria necessário um valor de tolerância \epsilon (não fornecido). Se \epsilon>0{,}438963 a condição \left|p_{2}-p_{1}\right|<\epsilon estaria satisfeita; se \epsilon\le 0{,}438963 não estaria.