Determine um intervalo onde se encontra uma das raízes das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar um intervalo onde se encontra uma das raízes (ou seja, um intervalo que contenha algum
tal que
). Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada explicitamente por
. - Quer-se um intervalo da reta real onde exista pelo menos uma solução de
.
Passo 2
Ideia prática que vamos usar: encontrar dois pontos
e
tais que
e
tenham sinais opostos; então, se
for contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe uma raiz em
.
Vamos avaliar
em alguns pontos simples.
Calcule
:
Logo
.
Calcule
:
Então
.
Passo 3
Explicando por que podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário: a função
é contínua e a função
também é contínua (pois
e a exponencial é contínua). A diferença de funções contínuas é contínua; logo
é contínua em
. Como
e
, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um
tal que
. Assim já temos um intervalo que contém uma raiz:
.
Passo 4
Para sermos mais precisos e também aprender a localizar melhor a raiz: podemos mostrar que
é estritamente crescente, o que implica unicidade da raiz. Vamos derivar
.
Escrevendo
. Pelo Regra da Cadeia, a derivada de
é
Como
, tem-se
Note que
e
para todo
, então
para todo
. Logo
é estritamente crescente em
. Isso implica que a raiz encontrada no intervalo
é única.
Passo 5
Queremos um intervalo mais estreito que contenha a raiz. Vamos testar alguns pontos intermediários e usar mudança de sinal (método tipo bissecção).
Calcule valores aproximados (usando
):
Para
:
portanto
Para
:
portanto
Como
e
, e
é contínua, existe uma raiz em
. Como
é estritamente crescente, essa é a única raiz e, portanto, ela está em
.