Determine um intervalo onde se encontra uma das raízes das seguintes funções:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=x-2^{-x}\

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(x)=x-2^{-x} e pede para determinar um intervalo onde se encontra uma das raízes (ou seja, um intervalo que contenha algum x tal que \mathrm{f}(x)=0). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada explicitamente por \mathrm{f}(x)=x-2^{-x}.
  • Quer-se um intervalo da reta real onde exista pelo menos uma solução de \mathrm{f}(x)=0.

Passo 2

Ideia prática que vamos usar: encontrar dois pontos a e b tais que \mathrm{f}(a) e \mathrm{f}(b) tenham sinais opostos; então, se \mathrm{f} for contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe uma raiz em (a,b).
Vamos avaliar \mathrm{f} em alguns pontos simples.
Calcule \mathrm{f}(0):
\mathrm{f}(0)=0-2^{0}=0-1=-1.
Logo \mathrm{f}(0)=-1<0.
Calcule \mathrm{f}(1):
\mathrm{f}(1)=1-2^{-1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}>0.
Então \mathrm{f}(1)=\tfrac{1}{2}>0.

Passo 3

Explicando por que podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário: a função x\mapsto x é contínua e a função x\mapsto 2^{-x} também é contínua (pois 2^{-x}=e^{-x\ln 2} e a exponencial é contínua). A diferença de funções contínuas é contínua; logo \mathrm{f} é contínua em \mathbb{R}. Como \mathrm{f}(0)<0 e \mathrm{f}(1)>0, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um c\in(0,1) tal que \mathrm{f}\text{(c)}=0. Assim já temos um intervalo que contém uma raiz: (0,1).

Passo 4

Para sermos mais precisos e também aprender a localizar melhor a raiz: podemos mostrar que \mathrm{f} é estritamente crescente, o que implica unicidade da raiz. Vamos derivar \mathrm{f}.
Escrevendo 2^{-x}=e^{-x\ln 2}. Pelo Regra da Cadeia, a derivada de g(x)=2^{-x} é
g'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x\ln 2}=(-\ln 2)\,e^{-x\ln 2}=-(\ln 2)\,2^{-x}.
Como \mathrm{f}(x)=x-g(x), tem-se
\mathrm{f}'(x)=1-g'(x)=1- \bigl(-(\ln 2)\,2^{-x}\bigr)=1+(\ln 2)\,2^{-x}.
Note que \ln 2>0 e 2^{-x}>0 para todo x, então \mathrm{f}'(x)>0 para todo x. Logo \mathrm{f} é estritamente crescente em \mathbb{R}. Isso implica que a raiz encontrada no intervalo (0,1) é única.

Passo 5

Queremos um intervalo mais estreito que contenha a raiz. Vamos testar alguns pontos intermediários e usar mudança de sinal (método tipo bissecção).
Calcule valores aproximados (usando \ln 2\approx 0,6931):
Para x=0,6:
2^{-0,6}=e^{-0,6\ln 2}\approx e^{-0,6\cdot 0,6931}=e^{-0,4159}\approx 0,65975,
portanto
\mathrm{f}(0,6)=0,6-2^{-0,6}\approx 0,6-0,65975\approx -0,05975<0.
Para x=0,65:
2^{-0,65}=e^{-0,65\ln 2}\approx e^{-0,65\cdot 0,6931}=e^{-0,4505}\approx 0,63786,
portanto
\mathrm{f}(0,65)=0,65-2^{-0,65}\approx 0,65-0,63786\approx 0,01214>0.
Como \mathrm{f}(0,6)<0 e \mathrm{f}(0,65)>0, e \mathrm{f} é contínua, existe uma raiz em (0{,}6,0{,}65). Como \mathrm{f} é estritamente crescente, essa é a única raiz e, portanto, ela está em (0{,}6,0{,}65).

Resposta

\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{13}{20}\right)

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