9- Usando o método de Newton, resolva a equação ln (x)+x-4=0, considerando epsilon=0,0001 e x0=1,5. Utilize como critério de parada erro_relativo <epsilon.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
ln(x) + x - 4 = 0
usando o método de Newton, com chute inicial x0 = 1,5 e critério de parada
errorelativo = lvert xn+1 - xnrvertlvert xn+1rvert < epsilon,
sendo epsilon = 0,0001. Vamos precisar das fórmulas de
f(x) = ln(x) + x - 4, f'(x) = 1x + 1,
e da iteração de Newton
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

Passo 2

Definimos
f(xn) = ln(xn) + xn - 4, f'(xn) = 1xn + 1,
e a atualização
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
A cada passo calculamos também
errorelativon = lvert xn+1 - xnrvertlvert xn+1rvert

Passo 3

Iteração 1 (a partir de x0=1,5):
f(x0)=ln(1,5)+1,5-4 = -2,0945349, f'(x0)=tfrac11,5+1=1,6666667,
x1 = 1,5 - -2,09453491,6666667 = 2,7567209, errorelativo1 = lvert2,7567209 - 1,5rvert2,7567209 approx 0,4558
Como 0,4558 > 0,0001, continuamos.

Passo 4

Iteração 2 (a partir de x1=2,7567209):
f(x1)=ln(2,7567209)+2,7567209-4 approx -0,2286086, f'(x1)=tfrac12,7567209+1approx1,3626528,
x2 = 2,7567209 - -0,22860861,3626528 = 2,9247924, errorelativo2 = lvert2,9247924 - 2,7567209rvert2,9247924approx0,05736
Ainda ,0,05736 > 0,0001, seguimos adiante.

Passo 5

Iteração 3 (a partir de x2=2,9247924):
f(x2)=ln(2,9247924)+2,9247924-4approx -0,0016190, f'(x2)=tfrac12,9247924+1approx1,3420690,
x3 = 2,9247924 - -0,00161901,3420690 = 2,9260114, errorelativo3 = lvert2,9260114 - 2,9247924rvert2,9260114approx0,0004146
Como 0,0004146 > 0,0001, continuamos.

Passo 6

Iteração 4 (a partir de x3=2,9260114):
f(x3)=ln(2,9260114)+2,9260114-4approx 0,0000018, f'(x3)=tfrac12,9260114+1approx1,3416902,
x4 = 2,9260114 - 0,00000181,3416902 = 2,9260101, errorelativo4 = lvert2,9260101 - 2,9260114rvert2,9260101approx0,00000045 < 0,0001
Aqui já satisfazemos o critério, então paramos.

Resposta

A raiz aproximada é
x approx 2,9260

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