Exercício 16. Determine o valor de x na equação abaixo:
log 10 x cdot log x^2-2 10=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log10x cdot logx^2-210 = 1
Usaremos a fórmula de troca de base
logab = 1logba

Passo 2

Aplicando a troca de base em logx^2-210, temos
logx^2-210 = 1log10(x^2-2)
Logo a equação fica
log10x ,cdot, 1log10(x^2-2) = 1
que equivale a
log10xlog10(x^2-2) = 1
e portanto
log10x = log10(x^2-2)

Passo 3

Como a função log10(cdot) é estritamente crescente, podemos igualar os argumentos:
x = x^2 - 2
Reorganizando,
x^2 - x - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática ;x^2 - x - 2 = 0; por Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
portanto
x = 2 ou x = -1

Passo 5

Verificamos as condições de existência dos logaritmos:
  1. log10x exige x > 0.
  2. logx^2-210 exige base x^2-2>0 e diferente de 1, ou seja x^2>2 e x^2neq3.
Dessas condições só sobra x=2, pois 2>0 e 2^2-2=2>0 (base diferente de 1).

Resposta

O único valor de x que satisfaz a equação é 2.

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