Usando o Método da Posição Falsa, determine uma aproximação para raiz[5]5 com erro inferior a 10^-3.

Passo 1

O enunciado pede pra achar uma aproximação de xr ;=;a,f(b);-;b,f(a)f(b)-f(a) (ou seja, a raiz quinta de 5) usando o Método da Posição Falsa (Regula Falsi), de forma que o erro seja menor que .
Conteúdo: Método numérico de localização de raízes.
O que precisamos:
  • Definir a função , cuja raiz é .
  • Encontrar um intervalo com e de sinais opostos.
  • Aplicar a fórmula da Posição Falsa
  • Repetir até .

Passo 2

Escolhendo o intervalo inicial:
  • xr =a,f(b)-b,f(a)f(b)-f(a) (negativo)
  • (positivo)
    Como , temos raiz em .
    Fórmula da Posição Falsa (Regula Falsi):

Passo 3

1ª iteração (k=1):
a=1, b=2
x1=1cdot27 - 2cdot(-4)27-(-4) =27+831= 3531approx1.1290
Calcule (negativo).
Atualizo , mantendo .

Passo 4

2ª iteração (k=2):
a≈1.1290, f(a)≈−3.1575; b=2, f(b)=27
x2=1.1290cdot27 - 2cdot(-3.1575)27-(-3.1575) approx1.2238
(negativo).
Atualizo .
Erro aproximado .

Passo 5

3ª iteração (k=3):
a≈1.2238, f(a)≈−2.2546; b=2
x3approx1.2238cdot27 - 2cdot(-2.2546)27-(-2.2546) approx1.2837
⇒ negativo.
Atualizo .
Erro .

Passo 6

4ª iteração (k=4):
a≈1.2837, f(a)≈−1.5080; b=2
x4approx1.3217, f(x4)approx-0.9680
Atualizo .
Erro .

Passo 7

5ª iteração (k=5):
a≈1.3217, f(a)≈−0.9680; b=2
x5approx1.3453, f(x5)approx-0.5920
Atualizo .
Erro .

Passo 8

6ª iteração (k=6):
a≈1.3453, f(a)≈−0.5920; b=2
x6approx1.3592, f(x6)approx-0.3540
Atualizo .
Erro .

Passo 9

7ª iteração (k=7):
a≈1.3592, f(a)≈−0.3540; b=2
x7approx1.3681, f(x7)approx-0.2050
Atualizo .
Erro .

Passo 10

8ª iteração (k=8):
a≈1.3681, f(a)≈−0.2050; b=2
x8approx1.3748, f(x8)approx-0.0920
Atualizo .
Erro .

Passo 11

9ª iteração (k=9):
a≈1.3748, f(a)≈−0.0920; b=2
x9approx1.3788, f(x9)approx-0.0170
Atualizo .
Erro .

Passo 12

10ª iteração (k=10):
a≈1.3788, f(a)≈−0.0170; b=2
x10approx1.3797, f(x10)approx-0.0021
Erro . Paramos!

Resposta

Uma aproximação de boxed1.3797 pelo Método da Posição Falsa com erro menor que é

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