Sabendo que a raiz de
pertence ao intervalo
. Escolha
como função de iteração e prove teoricamente que essa função de iteração gera uma sequência convergente, usando o Método do Ponto Fixo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a equação
tem uma raiz em
como função de iteração.
O assunto é Método do Ponto Fixo: provar que iterar
O assunto é Método do Ponto Fixo: provar que iterar
gera de fato uma sequência que converge ao tal ponto que satisfaz
Para isso, vamos precisar:
1) Mostrar que, a partir de uma aproximação em
2) Calcular
3) Invocar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que garante convergência única.
Passo 2
Definimos a iteração
com um chute inicial
O objetivo é mostrar que
que é equivalente à raiz de
.
Passo 3
Primeiro, verificar que
envia
num subintervalo contido em
:
- Se
, então
Logo,.
E a partir daí, todos ospermanecem em , porque se então
Passo 4
Agora, vamos ver o fator de contração. Calculamos a derivada de
No intervalo
Portanto existe
tal que
Passo 5
Com isso, aplicamos o Teorema do Ponto Fixo de Banach:
Se é contínua, diferenciável e
, então, para qualquer
, a sequência
converge ao único ponto fixo
tal que
.
Aqui ~ satisfaz
, logo é exatamente a raiz de
no intervalo dado.
Se
Aqui ~
Resposta
A iteração
, iniciada em qualquer
, fica em
a partir de
, é contrato com constante
e, pelo Teorema do Ponto Fixo, converge ao único ponto fixo
que resolve
.