Sabendo que a raiz de f(x)=x e^x-1 pertence ao intervalo (0,1). Escolha g(x)=e^-x como função de iteração e prove teoricamente que essa função de iteração gera uma sequência convergente, usando o Método do Ponto Fixo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a equação
f(x)=x,e^x-1=0
tem uma raiz em (0,1) e a gente escolhe
g(x)=e^-x
como função de iteração.
O assunto é Método do Ponto Fixo: provar que iterar
xn+1=g(xn)
gera de fato uma sequência que converge ao tal ponto que satisfaz x=g(x).
Para isso, vamos precisar:
1) Mostrar que, a partir de uma aproximação em [0,1], a sequência fica presa num subintervalo onde g leva o intervalo em si.
2) Calcular g'(x) e achar uma constante L<1 tal que |g'(x)|<= L ali dentro.
3) Invocar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que garante convergência única.

Passo 2

Definimos a iteração
xn+1=g(xn)=e^-xn,
com um chute inicial x0in[0,1].
O objetivo é mostrar que xnto x^*, onde x^* é o único ponto que satisfaz
x^*=e^-x^*,
que é equivalente à raiz de f(x)=0.

Passo 3

Primeiro, verificar que g envia [0,1] num subintervalo contido em [0,1]:
  • Se xin[0,1], então g(x)=e^-xin[e^-1,,e^0]=l[1e,,1r]
    Logo, x1=g(x0)in[1/e,1].
    E a partir daí, todos os xn permanecem em [1/e,1], porque se xnin[1/e,1] então
    xn+1=e^-xnin[e^-1,,e^-1/e]subset[1/e,1]

Passo 4

Agora, vamos ver o fator de contração. Calculamos a derivada de
g(x)=e^-x: g'(x)=-e^-x
No intervalo [1/e,1] temos
|g'(x)|=e^-x<= e^-1/eapprox0,6922<1
Portanto existe L=e^-1/e<1 tal que
|g'(x)|<= Lforall,xin[1/e,1]

Passo 5

Com isso, aplicamos o Teorema do Ponto Fixo de Banach:
Se g:[1/e,1]to[1/e,1] é contínua, diferenciável e |g'(x)|<= L<1, então, para qualquer x0in[1/e,1], a sequência xn+1=g(xn) converge ao único ponto fixo x^* tal que x^*=g(x^*).
Aqui ~ x^* satisfaz x^*=e^-x^*, logo é exatamente a raiz de f(x)=x e^x-1 no intervalo dado.

Resposta

A iteração xn+1=e^-xn, iniciada em qualquer x0in[0,1], fica em [1/e,1] a partir de n=1, é contrato com constante L=e^-1/e<1 e, pelo Teorema do Ponto Fixo, converge ao único ponto fixo x^*in(0,1) que resolve x^*e^x^*-1=0,.

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