Verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.
y^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=0,e^t, e^-t, e^-2 t.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
y''' + 2y'' - y' - 2y = 0
e pede para verificar que e^t,e^-t,e^-2t é um conjunto fundamental de soluções. O que vamos usar é a técnica do polinômio característico e o critério de raízes distintas para garantir independência linear.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^rt. Substituindo na equação, temos
r^3e^rt+2r^2e^rt-r e^rt-2e^rt=0
Como e^rtneq0, o expoente satisfaz o polinômio característico
r^3 + 2r^2 - r - 2 = 0

Passo 3

Testamos as raízes propostas r=1, r=-1 e r=-2 no polinômio:
Para r=1:
1^3+2cdot1^2-1-2 = 1+2-1-2=0
Para r=-1:
(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2 = -1+2+1-2=0
Para r=-2:
(-2)^3+2(-2)^2-(-2)-2 = -8+8+2-2=0
Logo, as três raízes são de fato r1=1, r2=-1 e r3=-2.

Passo 4

Cada raiz gera uma solução yi=e^ri t. Assim obtemos as três soluções
y1=e^t, y2=e^-t, y3=e^-2t

Passo 5

Como o polinômio característico tem três raízes distintas, fica garantido que as soluções e^t,e^-t,e^-2t são linearmente independentes. Para uma EDO de ordem 3, isso basta para afirmar que elas formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

O conjunto e^t,,e^-t,,e^-2t é de fato um conjunto fundamental de soluções da equação
y''' + 2y'' - y' - 2y = 0

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