Verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
e pede para verificar que
é um conjunto fundamental de soluções. O que vamos usar é a técnica do polinômio característico e o critério de raízes distintas para garantir independência linear.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos
Como
, o expoente satisfaz o polinômio característico
Passo 3
Testamos as raízes propostas
,
e
no polinômio:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Logo, as três raízes são de fato
,
e
.
Passo 4
Cada raiz gera uma solução
. Assim obtemos as três soluções
Passo 5
Como o polinômio característico tem três raízes distintas, fica garantido que as soluções
são linearmente independentes. Para uma EDO de ordem 3, isso basta para afirmar que elas formam um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
O conjunto
é de fato um conjunto fundamental de soluções da equação