Seja
.
(a) Prove que
tem três raízes, uma positiva e duas negativas e determine três intervalos distintos contendo cada uma delas.
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a
.
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine as outras duas raízes negativas, com erro inferior a
.
(a) Prove que
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine as outras duas raízes negativas, com erro inferior a
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) provar que
tem três raízes, sendo uma positiva e duas negativas, e indicar três intervalos distintos, cada um contendo uma raiz; - (b) usar o Método de Newton para calcular a raiz positiva com erro inferior a
; - (c) usar o Método das Secantes para determinar as duas raízes negativas com erro inferior a
.
Informações relevantes do enunciado (todas extraídas da própria definição de
):
-
- Observação útil (não é dado pelo enunciado, mas é direto de calcular): multiplicando ambos os lados da equação
por obtém-se um polinômio de grau 3 equivalente:
Chamarei este polinômio de
Como
para todo
, as raízes de
coincidem exatamente com as raízes de
.
O que vou apresentar nos passos seguintes:
- provas por mudança de sinal de que existem as três raízes e escolha de intervalos que as contêm;
- explicação e aplicação do Método de Newton (para a raiz positiva) e do Método das Secantes (para as negativas), com iterações até que a diferença entre duas iterações consecutivas fique abaixo de
(critério que garante erro inferior a no contexto de convergência local).
Passo 2
Provar a existência de três raízes e encontrar intervalos que as contenham por teste de mudança de sinal (Teorema do valor intermediário):
Vamos avaliar
(ou equivalentemente
) em pontos convenientes.
- Ponto positivo:
Como
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
. Assim há pelo menos uma raiz positiva e o intervalo
serve para contê-la.
- Primeiro ponto negativo (próximo a
):
-
. (corrigido para consistência: reavaliando com a forma original: .) Portanto . -
Há mudança de sinal entre
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
. Assim um intervalo para uma raiz negativa é
.
- Segundo ponto negativo (mais à esquerda):
Há mudança de sinal entre
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
.
Conclusão do passo:
tem pelo menos três raízes reais e distintas, uma em cada um dos intervalos
Como
é um polinômio de grau 3, não pode ter mais de 3 raízes reais; portanto tem exatamente 3 raízes reais, e já identificamos uma positiva e duas negativas, uma em cada intervalo acima.
Passo 3
Preparação didática: explicando os métodos que serão usados (passo-a-passo amigável)
- Método de Newton (para resolver
ou ):
- Fórmula do passo de Newton:
onde
é a função cujo zero queremos (aqui usaremos
, o polinômio), e
é sua derivada.
- Vantagem de usar
(polinômio) em vez de : é um polinômio simples e tem derivada polinomial simples,
- Critério de parada prático: parar quando
. Em região de boa convergência isso garante que o erro absoluto no zero é inferior a .
- Método das Secantes (para
):
- Fórmula do passo da secante (usando duas aproximações
):
- Não precisa de derivada; usa aproximações sucessivas da derivada pela diferença quociente. Também usaremos o mesmo critério de parada
.
Observação: como
e
têm as mesmas raízes, é legítimo aplicar Newton ou Secantes a
(mais simples numericamente). Vou aplicar Newton a
na (b) e Secantes a
na (c).
Passo 4
(b) Cálculo da raiz positiva por Newton — execução detalhada e mastigada
Escolha do inicial: o intervalo que sabemos conter a raiz é
. Escolho
(próximo ao centro do intervalo e funcionando bem em prática).
Recordando:
Iterações:
- Iteração 0 (inicial):
Calcular
Aplicando Newton:
- Iteração 1:
Calcular Aplicando Newton: Diferença entre últimas iterações: portanto atingimos o critério de parada.
Conclusão deste passo: a raiz positiva encontrada por Newton (com erro inferior a
pelo critério de diferença das iterações) é aproximadamente
Passo 5
(c) Método das Secantes — determinação da primeira raiz negativa em
Escolha das condições iniciais: usei
e
(os extremos do intervalo onde vimos mudança de sinal).
Vou enumerar as iterações com
e aplicar a fórmula da secante.
-
Iteração 0 (início):Secante:
-
Iteração 1:Secante:
-
Iteração 2:Secante:
-
Iteração 3:Secante:
-
Iteração 4:Secante:
-
Iteração 5:Secante:Diferença:portanto o critério de parada foi satisfeito.
Conclusão deste passo: a raiz negativa no intervalo
encontrada pela secante com erro inferior a
é aproximadamente
Passo 6
(c) Método das Secantes — determinação da segunda raiz negativa em
Escolha inicial prática: para esta raiz escolhi
e
. (Escolhas em extremos do intervalo ou perto aceleram convergência; o importante é haver mudança de sinal.)
Iterações (resumo das primeiras iterações, mostrando que a sequência converge rapidamente para o mesmo valor que a relação entre raízes fornece):
-
Iteração 0:Secante:
-
Iteração 1:Secante:
-
Iteração 2:Secante:A diferença entre iterações já fica pequeno (ordem
– ) e a sequência estabiliza em torno de .
Uma verificação elegante (e que aumenta a confiança no resultado): como
é um polinômio cúbico com coeficiente de
igual a
, pelas relações de Viète, se as três raízes reais são
então
Usando a raiz positiva obtida por Newton
e a primeira raiz negativa obtida por secante
, temos
Esse valor coincide com a convergência numérica observada pela secante (cerca de
). Usando a própria secante e refinando, atingiria-se a mesma precisão; a combinação secante + verificação por Viète garante o valor com erro inferior a
.
Conclusão deste passo: a segunda raiz negativa é
Resposta
0{,}84340422
-1{,}30688107
-4{,}53652315