Usando o método de separação de variáveis, resolva a seguinte equação diferencial:
z^prime x-z^2=1, x>0.

Passo 1

A equação dada é xdfracdzdx - z^2 = 1. O conteúdo que vamos usar é o método de variáveis separáveis: primeiro isolamos a derivada, depois separamos as variáveis e por fim integramos.

Passo 2

Isolando dfracdzdx e separando as variáveis, temos:
x dzdx = z^2 + 1
dzz^2 + 1 = dxx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Sabemos que integral dz1+z^2 = arctan(z) e integral dxx = ln|x| + C. Logo:
arctan(z) = ln|x| + C

Passo 4

Como x>0, podemos escrever ln|x| = ln(x). Então
arctan(z) = ln(x) + C

Passo 5

Por fim, aplicamos a tangente para isolar z:
z(x) = tanl(ln(x) + Cr)

Resposta

z(x) = \tan\bigl(\ln(x) + C\bigr), \quad x>0.

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