Usando o método de separação de variáveis, resolva as seguintes equações diferenciais:
  1. x+y y^prime=0;
  2. (t^2-x t^2) d xd t+x^2=-t x^2;
  3. x y^prime-y=0;
  4. (x^2-1) y^prime+2 x y^2=0 :
  5. y^prime=(x+1)^2;
  6. e^x y y^prime=e^-y+e^-2 x-y;
  7. y^prime=(2 y+34 x+5)^2.

Passo 1

Estamos resolvendo sete equações diferenciais ordinárias de primeira ordem usando o método de separação de variáveis. Em cada caso vamos reescrever a equação na forma que permita agrupar termos de uma única variável de cada lado, integrar ambos os lados e obter a solução geral.

Passo 2

Para 1) temos x + y y’ = 0. Escrevendo y’ = dy/dx, obtemos
y,dy = -x,dx
Integramos:
integral y,dy = -integral x,dx implies y^22 = -x^22 + C1 implies y^2 + x^2 = C1'

Passo 3

Em 2) (t^2 - x t^2),dx/dt + x^2 = -t x^2, primeiro isolamos dx/dt:
(1 - x)t^2dxdt = -x^2(1 + t) implies dxdt = -x^21 - xcdot1 + tt^2
Separamos:
1 - xx^2,dx = -1 + tt^2,dt
Escrevendo 1 - xx^2 = x^-2 - x^-1 e integrando:
integral(x^-2 - x^-1),dx = -integrall(t^-1 + t^-2r),dt implies -1x - ln|x| = -ln|t| + 1t + C2

Passo 4

Em 3) x y' - y = 0 fica
xdydx = y implies dyy = dxx
Integrando:
ln|y| = ln|x| + C3 implies y = C3' x

Passo 5

Em 4) (x^2-1)y' + 2xy^2 = 0 temos
dydx = -2xx^2-1y^2
Separamos:
y^-2,dy = -2xx^2-1,dx
Tomando u = x^2-1,,du=2x,dx, integramos:
integral y^-2,dy = -integral duu implies -1y = -ln|x^2-1| + C4 implies 1y = ln|x^2-1| + C4'

Passo 6

Em 5) y' = (x+1)^2 é direto:
dydx = (x+1)^2 implies y = integral(x+1)^2,dx = (x+1)^33 + C5

Passo 7

Em 6) e^x y y' = e^-y + e^-2x-y. Escrevendo dy/dx e separando:
y e^x+y,dy = l(e^-x + e^-3xr),dx
porque
dydx = e^-y(1+e^-2x)e^x y = l(e^-x + e^-3xr)e^-yy
Integramos ambos:
integral y e^y,dy = integrall(e^-x + e^-3xr),dx implies (y-1)e^y = -e^-x - 13e^-3x + C6

Passo 8

Em 7) y' = l(2y+34x+5r)^2. Separamos:
(4x+5)^2,dy = (2y+3)^2,dx
integral dy(2y+3)^2 = integral dx(4x+5)^2
Com u=2y+3 e v=4x+5, obtemos
-12u = -14v + C7 implies 14(4x+5) = 12(2y+3) + C7'

Resposta

  1. y^2 + x^2 = C_1\
  2. -\frac{1}{x} - \ln|x| + \ln|t| - \frac{1}{t} = C_2\
  3. y = C_3 x\
  4. \frac{1}{y} = \ln|x^2 - 1| + C_4\
  5. y = \frac{(x+1)^3}{3} + C_5\
  6. (y - 1)e^y + e^{-x} + \tfrac{1}{3}e^{-3x} = C_6\
  7. \frac{1}{4(4x+5)} - \frac{1}{2(2y+3)} = C_7

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