Usando o método de separação de variáveis, resolva as seguintes equações diferenciais:
-
;
-
;
-
;
-
:
-
;
-
;
-
.
Passo 1
Estamos resolvendo sete equações diferenciais ordinárias de primeira ordem usando o método de separação de variáveis. Em cada caso vamos reescrever a equação na forma que permita agrupar termos de uma única variável de cada lado, integrar ambos os lados e obter a solução geral.
Passo 2
Para 1) temos x + y y’ = 0. Escrevendo y’ = dy/dx, obtemos
Integramos:
Passo 3
Em 2)
, primeiro isolamos dx/dt:
Separamos:
Escrevendo
e integrando:
Passo 4
Em 3)
fica
Integrando:
Passo 5
Em 4)
temos
Separamos:
Tomando
, integramos:
Passo 6
Em 5)
é direto:
Passo 7
Em 6)
. Escrevendo dy/dx e separando:
porque
Integramos ambos:
Passo 8
Em 7)
. Separamos:
Com
Resposta
- y^2 + x^2 = C_1\
- -\frac{1}{x} - \ln|x| + \ln|t| - \frac{1}{t} = C_2\
- y = C_3 x\
- \frac{1}{y} = \ln|x^2 - 1| + C_4\
- y = \frac{(x+1)^3}{3} + C_5\
- (y - 1)e^y + e^{-x} + \tfrac{1}{3}e^{-3x} = C_6\
- \frac{1}{4(4x+5)} - \frac{1}{2(2y+3)} = C_7