Determine a solução geral das seguintes EDOs:
  1. y^prime-1(1+x^2) arctan x=0;
  2. y^prime-raiz1-x^2=0;
  3. y^prime-x^4+x^2+1x^2+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral de três EDOs da forma y'=f(x), ou seja, basta integrar f(x) em cada caso e adicionar a constante de integração.

Passo 2

Para a primeira EDO temos
y'=1(1+x^2)arctan x
Fazemos a substituição u=arctan x, logo du=11+x^2,dx. A integral fica
y=integral dx(1+x^2)arctan x=integral duu=ln|u|+C=ln|arctan x|+C1

Passo 3

Na segunda EDO
y'=raiz1-x^2,
usamos a primitiva conhecida
integral raiz1-x^2,dx=x2raiz1-x^2+12arcsin x+C2
Portanto
y=x2raiz1-x^2+12arcsin x+C2

Passo 4

Na terceira EDO
y'=x^4+x^2+1x^2+1,
fazemos a divisão de polinômios: x^4+x^2+1=(x^2+1)x^2+1, de modo que
$$y’=x2+\frac{1}{x2+1}.
y'=x^2+1x^2+1 y=\int x^2,dx+\int \frac{dx}{x2+1}=\frac{x3}{3}+\arctan x+C_3.$$

Resposta

Para as três EDOs as soluções gerais são:
  1. y=ln|arctan x|+C1;
  2. y=tfracx2raiz1-x^2+tfrac12arcsin x+C2;
  3. y=tfracx^33+arctan x+C3, onde C1,C2,C3 são constantes de integração.

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