Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais usando fatores integrantes:
  1. y^prime+2 y=cos x;
  2. x^3 y^prime-y-1=0;
  3. 1x y^prime-1x^2+1 y=raizx^2+1x, x neq 0;
  4. y^prime+y=sen x.

Passo 1

Essa questão pede pra gente resolver quatro equações diferenciais lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante. O conteúdo principal é equações lineares da forma y'+P(x)y=Q(x) e vamos precisar do conceito de fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx.

Passo 2

No método do fator integrante, a gente identifica em cada equação P(x) e Q(x), calcula mu(x)=e^integral P(x),dx, multiplica a equação diferencial original por mu(x) e reconhece o lado esquerdo como a derivada de mu(x)y. Daí basta integrar ambos os lados para achar y.

Passo 3

Para a equação y'+2y=cos x: temos P(x)=2 e Q(x)=cos x. Calculamos mu(x)=e^integral2,dx=e^2x. Multiplicando a equação por e^2x
(e^2xy)'=e^2xcos x
Integrando por partes em integral e^2xcos x,dx, obtemos e^2x5(2cos x+sin x). Então
e^2xy=e^2x5(2cos x+sin x)+C
e daí
y=2cos x+sin x5+Ce^-2x

Passo 4

Para x^3y'-y-1=0, primeiro escrevemos na forma padrão
y'-1x^3y=1x^3
Aqui P(x)=-x^-3 e Q(x)=x^-3. O fator integrante fica
mu(x)=e^integral -x^-3,dx=e^x^-2/2
Multiplicando, obtemos
(e^x^-2/2y)'=e^x^-2/2x^3
Fazendo a substituição u=tfracx^-22 leva a du=-x^-3dx e
integrale^x^-2/2x^3,dx=integral e^u(-du)=-e^u+C
Logo
e^x^-2/2y=-e^x^-2/2+C
e
y=-1+Ce^-x^-2/2

Passo 5

Para tfrac1xy'-tfrac1x^2+1y=tfracraizx^2+1x com xneq0, multiplicamos tudo por x para ficar em padrão:
y'-xx^2+1y=raizx^2+1
Assim P(x)=-tfracxx^2+1 e Q(x)=raizx^2+1. O fator integrante é
mu(x)=e^integral -xx^2+1,dx=e^-12ln(x^2+1)=1raizx^2+1
Multiplicando, vem
l( yraizx^2+1r)'=1,
integramos e achamos
yraizx^2+1=x+C
e portanto
y=(x+C)raizx^2+1

Passo 6

Para y'+y=sin x: temos P(x)=1, Q(x)=sin x e mu(x)=e^integral1,dx=e^x. Multiplicando,
(e^xy)'=e^xsin x
Sabendo que integral e^xsin x,dx=tfrace^x2(sin x-cos x), concluímos
e^xy=e^x2(sin x-cos x)+C
e finalmente
y=sin x-cos x2+Ce^-x

Resposta

  1. y=2cos x+sin x5+Ce^-2x;
  2. y=-1+Ce^-1/(2x^2);
  3. y=(x+C)raizx^2+1;
  4. y=sin x-cos x2+Ce^-x.

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