- Mostre que a função
, definida implicitamente pela equação
, é solução da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado define implicitamente uma função y por meio da equação 2 y² ln y – x² = 0 e pede para mostrar que essa y satisfaz a equação diferencial y’ = x y/(x² + y²). O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita e uso da relação original para simplificar o resultado.
Passo 2
Vamos diferenciar implicitamente em relação a x a equação
Aplicando d/dx em cada termo e lembrando que y = y(x), temos:
Para o primeiro termo, use produto e cadeia:
Multiplicando por 2 e derivando o segundo termo, obtemos:
Passo 3
Agora, isole y’ agrupando os termos que o contêm:
Passo 4
Para eliminar o \ln y do denominador, use a relação original 2 y² ln y = x², que dá 2 ln y = x²/y². Logo:
Substituindo em y’ = x/(y(2 ln y + 1)) resulta
Passo 5
Com isso vimos que a derivada implícita de y satisfaz y’ = x y/(x² + y²), como queríamos mostrar.
Resposta
y’ = \frac{x,y}{x^{2} + y^{2}}