1. Mostre que a função y, definida implicitamente pela equação 2 y^2 ln y-x^2=0, é solução da equação diferencial y^prime=x y /(x^2+y^2).

Passo 1

O enunciado define implicitamente uma função y por meio da equação 2 y² ln y – x² = 0 e pede para mostrar que essa y satisfaz a equação diferencial y’ = x y/(x² + y²). O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita e uso da relação original para simplificar o resultado.

Passo 2

Vamos diferenciar implicitamente em relação a x a equação 2,y^2ln y - x^2 = 0Aplicando d/dx em cada termo e lembrando que y = y(x), temos:
ddx(2,y^2ln y) - ddx(x^2) = 0
Para o primeiro termo, use produto e cadeia:
ddx(y^2ln y) = 2y,y'ln y + y^2y'y = 2y,y'ln y + y,y'
Multiplicando por 2 e derivando o segundo termo, obtemos:
4y,y'ln y + 2y,y' - 2x = 0

Passo 3

Agora, isole y’ agrupando os termos que o contêm:
y',(4yln y + 2y) = 2x Longrightarrow y' = 2x4yln y + 2y = x2yln y + y

Passo 4

Para eliminar o \ln y do denominador, use a relação original 2 y² ln y = x², que dá 2 ln y = x²/y². Logo:
2ln y + 1 = x^2y^2 + 1 = x^2 + y^2y^2
Substituindo em y’ = x/(y(2 ln y + 1)) resulta
y' = xycdotx^2+y^2y^2 = x,yx^2+y^2, que é exatamente a equação dada.

Passo 5

Com isso vimos que a derivada implícita de y satisfaz y’ = x y/(x² + y²), como queríamos mostrar.

Resposta

y’ = \frac{x,y}{x^{2} + y^{2}}

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