Usando o método de separação de variáveis, resolva as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. O assunto é justamente separar as dependências de
e
e depois integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro passo da separação: escrevemos
e reorganizamos de modo a agrupar
de um lado e
do outro. Temos
logo
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. De um lado
fazendo a substituição
, então
e
. A integral vira
Passo 4
Do outro lado temos
com substituição
,
e
. Então
Passo 5
Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando definindo
, fica
Passo 6
Por fim, isolamos
. Primeiro multiplicamos por 2:
onde
. Invertendo:
Logo a solução geral é
com
constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é
onde
é a constante de integração.