Usando o método de separação de variáveis, resolva as seguintes equações diferenciais:
y^prime=(2 y+34 x+5)^2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = gl(2y+34x+5gr)^2
usando o método de separação de variáveis. O assunto é justamente separar as dependências de y e x e depois integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro passo da separação: escrevemos y' = dydx e reorganizamos de modo a agrupar y de um lado e x do outro. Temos
dydx = (2y+3)^2(4x+5)^2
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dy(2y+3)^2 = dx(4x+5)^2

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado
integral dy(2y+3)^2
fazendo a substituição u = 2y+3, então du = 2,dy e dy = du/2. A integral vira
12integral u^-2,du = 12l(-u^-1r) = -12(2y+3)

Passo 4

Do outro lado temos
integral dx(4x+5)^2
com substituição v = 4x+5, dv=4,dx e dx = dv/4. Então
14integral v^-2,dv = 14l(-v^-1r) = -14(4x+5)

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos
-12(2y+3) = -14(4x+5) + C
Multiplicando ambos os lados por -1 e reorganizando definindo C1 = -C, fica
12(2y+3) = 14(4x+5) + C1

Passo 6

Por fim, isolamos y. Primeiro multiplicamos por 2:
12y+3 = 12(4x+5) + 2C1 = 18x+10 + C2,
onde C2 = 2C1. Invertendo:
2y+3 = 1 18x+10 + C2 = 8x+101 + C2(8x+10)
Logo a solução geral é
y = 8x+102l(1 + C2(8x+10)r) - 32,
com C2 constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y = 8x+102l(1 + C,(8x+10)r) - 32,
onde C é a constante de integração.

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