Usando o método de séries de potências em torno de xo=0, encontre a solução geral da equação
y^prime prime+x y^prime+5 y=1+x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não‐homogênea
y'' + x,y' + 5,y = 1 + x
usando séries de potências em torno de x0=0. Para isso vamos precisar de dois ingredientes:
  1. Encontrar uma solução particular yp(x) (como é polinomial o termo fonte, podemos tentar um polinômio de grau 1).
  2. Resolver a equação homogênea
y'' + x,y' + 5,y = 0
por séries de potências yh(x)=sumn=0^inftyanx^n, obtendo uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Para achar uma solução particular de grau 1, tomamos
yp(x)=A + B,x
Então
yp'(x)=B, yp''(x)=0,
e na equação original temos
0 + xcdot B + 5l(A + Bxr) = 1 + x
Comparando coeficientes de x^0 e x^1:
5A = 1 Longrightarrow A = tfrac15,
B + 5B = 6B = 1 Longrightarrow B = tfrac16
Logo
yp(x) = 15 + x6

Passo 3

Na parte homogênea supomos
yh(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
yh''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 =sumk=0^infty(k+2)(k+1)ak+2x^k,
x,yh'(x)=xsumn=1^inftyn,anx^n-1 =sumk=0^inftyk,akx^k,
5,yh(x)=sumk=0^infty5,akx^k
Substituindo em yh''+x,yh'+5,yh=0 e coletando potências iguais de x^k
(k+2)(k+1),ak+2 ;+;(k+5),ak = 0,
ou seja
ak+2 ;=;-,k+5(k+2)(k+1),ak para k>=0
Isso gera duas séries fundamentais, escolhendo a0=1,a1=0 e a0=0,a1=1:
y1(x)=1-52x^2+3524x^4-cdots, y2(x)=x - x^3 + 25x^5-cdots

Resposta

y(x) = C1,gl(1-52x^2+3524x^4-cdotsgr) ;+; C2,l(x - x^3 + tfrac25x^5-cdotsr) ;+; 15 + x6,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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