Usando o método de séries de potências em torno de
, encontre a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação não‐homogênea
usando séries de potências em torno de
. Para isso vamos precisar de dois ingredientes:
- Encontrar uma solução particular
(como é polinomial o termo fonte, podemos tentar um polinômio de grau 1). - Resolver a equação homogênea
por séries de potências
, obtendo uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Para achar uma solução particular de grau 1, tomamos
Então
e na equação original temos
Comparando coeficientes de
e
:
Logo
Passo 3
Na parte homogênea supomos
Então
Substituindo em
e coletando potências iguais de
dá
ou seja
Isso gera duas séries fundamentais, escolhendo
e
:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.