Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis x=g(t) que elimina a raiz do integrando (não é necessário resolver a integral resultante neste momento. Mas, de todo modo, tente!)
\int \sqrt{1-x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \sqrt{1 - x^{2}}\,dx
e sugere usar o método da substituição inversa, isto é, escolher x = g(t) de modo que a raiz \sqrt{1 - x^{2}} desapareça.

Passo 2

Como aparece \sqrt{1 - x^{2}}, uma escolha clássica é
x = \sin(t),
pois então
\sqrt{1 - x^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}(t)} = \cos(t).
O inverso dessa mudança é t = \arcsin(x).

Passo 3

Computamos também
dx = \cos(t)\,dt.
Substituindo em \int \sqrt{1 - x^{2}}\,dx, obtemos
\int \sqrt{1 - \sin^{2}(t)}\;\cos(t)\,dt = \int \cos(t)\,\cos(t)\,dt = \int \cos^{2}(t)\,dt.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int \cos^{2}(t)\,dt, usamos a identidade de ângulo duplo:
\cos^{2}(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}.
Logo
\int \cos^{2}(t)\,dt = \int \frac{1 + \cos(2t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int 1\,dt + \frac{1}{2}\int \cos(2t)\,dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4} + C.

Passo 5

Retornando a x: como t = \arcsin(x) e
\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) = 2x\sqrt{1 - x^{2}},
a antiderivada fica
\frac{\arcsin(x)}{2} + \frac{1}{4}\bigl(2x\sqrt{1 - x^{2}}\bigr) + C = \frac{\arcsin(x)}{2} + \frac{x\sqrt{1 - x^{2}}}{2} + C.

Resposta

A mudança de variáveis que elimina a raiz é
x = g(t) = \sin(t).
Como bônus, a primitiva resultante é
\int \sqrt{1 - x^{2}}\,dx = \frac{\arcsin(x)}{2} + \frac{x\sqrt{1 - x^{2}}}{2} + C.

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