Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
Estamos resolvendo o problema de valor inicial
u_{xt}=u_{xx}, com u(x,0)=\sqrt{\pi/2},e^{-|x|}, usando transformada de Fourier em x. Vamos precisar da definição da transformada
u_{xt}=u_{xx}, com u(x,0)=\sqrt{\pi/2},e^{-|x|}, usando transformada de Fourier em x. Vamos precisar da definição da transformada
e da transformada conhecida
Passo 2
Aplicamos a transformada de Fourier ao PDE. Note que
e
Logo o PDE vira a ODE em t:
Passo 3
Resolvemos a ODE de primeira ordem em t. A equação
é separável e tem solução geral
onde C(k) é determinada pela condição inicial.
Passo 4
Calculamos C(k)=\hat u(k,0) a partir de u(x,0)=\sqrt{\pi/2},e^{-|x|}. Tem-se
Passo 5
Portanto
Para obter u(x,t) fazemos a transformada inversa:
Passo 6
Usando a integral conhecida
ome substituindo a= x+t, obtemos