Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lux t=ux x u(x, 0)=raizpi2 e^-|x|

Passo 1

Estamos resolvendo o problema de valor inicial
u_{xt}=u_{xx}, com u(x,0)=\sqrt{\pi/2},e^{-|x|}, usando transformada de Fourier em x. Vamos precisar da definição da transformada
hat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx
e da transformada conhecida
integral-infty^inftye^-|x|e^-ikxdx=21+k^2

Passo 2

Aplicamos a transformada de Fourier ao PDE. Note que
F[uxt]=partialpartial tl(ikhat u(k,t)r)=ik,hat ut(k,t)
e
F[uxx]=-k^2hat u(k,t)
Logo o PDE vira a ODE em t:
ik,hat ut(k,t)=-k^2hat u(k,t)Longrightarrowhat ut(k,t)=i k,hat u(k,t)

Passo 3

Resolvemos a ODE de primeira ordem em t. A equação
hat ut=i k,hat u
é separável e tem solução geral
hat u(k,t)=C(k)e^i k t
onde C(k) é determinada pela condição inicial.

Passo 4

Calculamos C(k)=\hat u(k,0) a partir de u(x,0)=\sqrt{\pi/2},e^{-|x|}. Tem-se
hat u(k,0)=raizpi2integral-infty^inftye^-|x|e^-ikxdx =raizpi2,21+k^2 =raiz2pi1+k^2

Passo 5

Portanto
hat u(k,t)=raiz2pi1+k^2e^i k t
Para obter u(x,t) fazemos a transformada inversa:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat u(k,t)e^ikxdk =12piintegral-infty^inftyraiz2pi1+k^2e^ik(x+t)dk =1raiz2piintegral-infty^inftye^ik(x+t)1+k^2dk

Passo 6

Usando a integral conhecida
integral-infty^inftye^ika1+k^2dk=pi e^-|a|,
ome substituindo a= x+t, obtemos
u(x,t)=1raiz2pi,pi e^-|x+t|=raizpi2,e^-|x+t|

Resposta

u(x,t)=raizpi2,e^-|x+t|

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