Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
A questão pede para resolver o PDE de primeira ordem
com condição inicial
usando transformada de Fourier em
. Vamos usar a definição da transformada de Fourier e sua inversa, a propriedade que leva derivada espacial em fator
e em seguida inverter para voltar a
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
de
como
Pela linearidade, a transformada de
é
e a de
é
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier em
ao PDE, obtemos
ou seja
Passo 4
Essa é uma ODE linear em
. Podemos separá-la ou usar fator integrante. Escrevendo
e integrando de 0 a
:
Como
, a transformada de
, temos
Passo 5
Para voltar a
, aplicamos a transformada inversa:
Passo 6
Esse integral é exatamente a transformada inversa de
avaliada em
. Logo,