Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut+t ux=0 u(x, 0)=f(x)

Passo 1

A questão pede para resolver o PDE de primeira ordem ut + t,ux = 0 com condição inicial u(x,0)=f(x) usando transformada de Fourier em x. Vamos usar a definição da transformada de Fourier e sua inversa, a propriedade que leva derivada espacial em fator ik e em seguida inverter para voltar a u(x,t).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em x de u(x,t) como
U(k,t)=integral-infty^inftye^-ikxu(x,t),dx
Pela linearidade, a transformada de ut é partialtU(k,t) e a de ux é ikU(k,t).

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier em x ao PDE, obtemos
partialtU(k,t)+t,(ik),U(k,t)=0,
ou seja
partial Upartial t+ik,t,U=0

Passo 4

Essa é uma ODE linear em t. Podemos separá-la ou usar fator integrante. Escrevendo
1Upartial Upartial t=-ik,t
e integrando de 0 a t:
lnU(k,t)U(k,0)=-ikt^22
Como U(k,0)=F(k), a transformada de f(x), temos
U(k,t)=F(k),e^-ik,t^2/2

Passo 5

Para voltar a u(x,t), aplicamos a transformada inversa:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftye^ikxU(k,t),dk =12piintegral-infty^inftye^ik(x-t^2/2)F(k),dk

Passo 6

Esse integral é exatamente a transformada inversa de F(k) avaliada em x-t^2/2. Logo,
u(x,t)=fl(x-tfract^22r)

Resposta

u(x,t)=fl(x-tfract^22r)

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