Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut+(sen t) ux=0 u(x, 0)=sen x

Passo 1

O problema é um PDE de transporte não homogêneo em que a velocidade depende de t, com condições iniciais u(x,0)=sen x. Vamos usar transformada de Fourier em x para resolver a equação u_{t}+(sen t)u_{x}=0.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Fourier em x: definimos U(ω,t)=∫_{-∞}{∞}u(x,t)e{-iωx}dx. Como ∂_x vira iω no domínio de ω, obtemos a EDO
Ut(ω,t)+iω,sin t,U(ω,t)=0

Passo 3

Essa é uma EDO de 1ª ordem em t. Podemos escrever
dUdt+iωsin t,U=0

Passo 4

A solução geral é dada por fator integrante, ou diretamente por
U(ω,t)=U(ω,0)expl(-iωintegral0^tsin s,dsr)

Passo 5

Calculamos a integral
integral0^tsin s,ds=-cos s|0^t=1-cos t

Passo 6

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U(ω,t)=U(ω,0)e^-iω(1-cos t)

Passo 7

Como U(ω,0) é a transformada de sen x, o efeito no domínio físico é um deslocamento de x de (1-\cos t). Assim, ao inverter a transformada temos
u(x,t)=u(x-(1-cos t),0)=sinl(x-(1-cos t)r)

Resposta

u(x,t)=\sin\bigl(x-(1-\cos t)\bigr)

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