Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
O problema é um PDE de transporte não homogêneo em que a velocidade depende de t, com condições iniciais u(x,0)=sen x. Vamos usar transformada de Fourier em x para resolver a equação u_{t}+(sen t)u_{x}=0.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Fourier em x: definimos U(ω,t)=∫_{-∞}{∞}u(x,t)e{-iωx}dx. Como ∂_x vira iω no domínio de ω, obtemos a EDO
Passo 3
Essa é uma EDO de 1ª ordem em t. Podemos escrever
Passo 4
A solução geral é dada por fator integrante, ou diretamente por
Passo 5
Calculamos a integral
Passo 6
Logo
Passo 7
Como U(ω,0) é a transformada de sen x, o efeito no domínio físico é um deslocamento de x de (1-\cos t). Assim, ao inverter a transformada temos
Resposta
u(x,t)=\sin\bigl(x-(1-\cos t)\bigr)