Resolva o seguinte sistema de equações.
l2 d xd t+d yd t-x=e^t 3 d xd t+2 d yd t+y=t

Passo 1

Temos um sistema de EDOs lineares de primeira ordem em x(t) e y(t):
2dxdt+dydt-x=e^t, 3dxdt+2dydt+y=t
O conteúdo é resolução de sistema linear X'=AX+f(t) e vamos precisar de álgebra linear (autovalores, autovetores) e coeficientes indeterminados.

Passo 2

Passo 1: Reescrever o sistema na forma padrão X'=AX+f(t)
Define x'=dxdt, y'=dydt e o vetor
$$X= X=xy .
2x'+y'=x+e^t, 3x'+2y'=-y+t, çõ
2x’+y’=x+e^t,\
3x’+2y’=-y+t,
x'
y'
=\underbrace{ x'y' =underbrace2&1-3&-2A xy +underbrace2e^t-t2t-3e^tf(t) }{A}

+\underbrace{ }
{f(t)}.
$$

Passo 3

Passo 2: Resolver o sistema homogêneo X'h=AXh
O traço de A é 0 e o determinante é -1, logo o polinômio característico é lambda^2-1=0 com raízes lambda=1,-1.
Para lambda=1 um autovetor é v1=(1,-1)^T.
Para lambda=-1 um autovetor é v2=(1,-3)^T.
Assim a solução homogênea é
Xh=C1e^t1-1+C2e^-t1-3

Passo 4

Passo 3: Propor uma solução particular por coeficientes indeterminados
O termo não homogêneo é combinação de e^t (resonante com lambda=1) e polinômio de grau 1. Fazemos o ansatz
Xp(t)=t e^tAB+e^tCD+ alpha t+beta gamma t+de

Passo 5

Passo 4: Encontrar os coeficientes do ansatz
Derivando e igualando X'p=AXp+f(t) e agrupando termos em t e^t, e^t, t, constante obtemos um sistema que leva a
A=tfrac32, B=-tfrac32, C+D=-tfrac12,
alpha=0, gamma=1, beta=1, de
Podemos escolher, por simplicidade, C=0 e D=-tfrac12.

Passo 6

Passo 5: Escrever a solução geral
Somando homogênea e particular, obtemos
x(t)=C1e^t+C2e^-t+tfrac32t e^t+1, y(t)=-C1e^t-3C2e^-t-tfrac32t e^t-tfrac12e^t+t-2

Passo 7

Nesta forma temos os parâmetros livres C1,C2 que dependem de condições iniciais. A solução está completa.

Resposta

x(t)=C_1et+C_2e{-t}+\tfrac32,t et+1,\y(t)=-C_1et-3C_2e^{-t}-\tfrac32,t et-\tfrac12et+t-2

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