Resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
Temos um sistema de EDOs lineares de primeira ordem em x(t) e y(t):
O conteúdo é resolução de sistema linear
e vamos precisar de álgebra linear (autovalores, autovetores) e coeficientes indeterminados.
Passo 2
Passo 1: Reescrever o sistema na forma padrão
Define ,
e o vetor
Define
$$X=
.
2x’+y’=x+e^t,\
3x’+2y’=-y+t,
3x’+2y’=-y+t,
=\underbrace{
+\underbrace{
$$
Passo 3
Passo 2: Resolver o sistema homogêneo
O traço de é 0 e o determinante é
, logo o polinômio característico é
com raízes
.
Para um autovetor é
.
Para um autovetor é
.
Assim a solução homogênea é
O traço de
Para
Para
Assim a solução homogênea é
Passo 4
Passo 3: Propor uma solução particular por coeficientes indeterminados
O termo não homogêneo é combinação de (resonante com
) e polinômio de grau 1. Fazemos o ansatz
O termo não homogêneo é combinação de
Passo 5
Passo 4: Encontrar os coeficientes do ansatz
Derivando e igualando e agrupando termos em
obtemos um sistema que leva a
Derivando e igualando
Podemos escolher, por simplicidade,
e
.
Passo 6
Passo 5: Escrever a solução geral
Somando homogênea e particular, obtemos
Somando homogênea e particular, obtemos
Passo 7
Nesta forma temos os parâmetros livres
que dependem de condições iniciais. A solução está completa.
Resposta
x(t)=C_1et+C_2e{-t}+\tfrac32,t et+1,\y(t)=-C_1et-3C_2e^{-t}-\tfrac32,t et-\tfrac12et+t-2