Sejam r1 e r2 as retas tangentes à hipérbole x^2-y^2=1 nos pontos P1=(raiz2, 1) e P2=(raiz2,-1), respectivamente. Seja Q o ponto de interseção das retas r1 e r2. Determine as coordenadas de Q.
(a) (raiz22, 0).
(b) (12, 12).
(c) (-raiz22, 0).
(d) (23, 13).
(e) (12,-12).

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do ponto Q onde se intersectam as retas tangentes à hipérbole
x^2-y^2=1
nos pontos P1=(raiz2,1) e P2=(raiz2,-1).
Conteúdo: derivada implícita para achar o coeficiente angular das tangentes, equações das retas e solução do sistema para Q.

Passo 2

Usando derivada implícita em x^2-y^2=1 temos
2x-2y,y'=0,
logo
y'=xy
Em P1 o coeficiente angular é
m1=raiz21=raiz2,
logo a reta r1 é
y-1=raiz2l(x-raiz2r) Longrightarrow y=raiz2,x-1
Em P2 o coeficiente angular é
m2=raiz2-1=-raiz2,
logo a reta r2 é
y+1=-raiz2l(x-raiz2r) Longrightarrow y=-raiz2,x+1

Passo 3

Para achar Q, resolvemos
raiz2,x-1 ;=;-,raiz2,x+1
Isso dá
2raiz2,x=2 Longrightarrow x=1raiz2=raiz22,
e então
y=raiz2,raiz22-1=1-1=0

Resposta

(a) l(tfracraiz22,0r)

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